> Техника, страница 15 > Асимптотическое приближение
Асимптотическое приближение
Асимптотическое приближение одного выражения к другому заключается в том, что отношение этих выражений стремится к 1, когда независимая переменная приближается к некоторому пределу или неограниченно возрастает. Так, функции sin х и х приближаются асимптотически друг к другу, когда х стремится к нулю; функция y=A(l-er*iT) приближается асимптотически к постоянному значению А, когда t стремится к бесконечности. Если к более сложнойфункции асимптотически приближается более простая, то у пределов приближения можно заменять сложную функцию более простой, не делая значительной погрешности. Так, очень часто при весьма малых значениях х можно sin х заменять через х. Вследствие этого разыскание функций, асимптотически приближающихся к заданной сложной функции, особенно когда независимая переменная неограниченно возрастает, есть важная задача анализа. В геометрии две кривые асимптотически приближаются друг к другу, если расстояние какой-либо точки одной из них от другой неограниченно убывает, когда эта точка перемещается ио первой кривой. Так, диагонали прямоугольника, построенного на осях гиперболы, при неограниченном продолжении их асимптотически приближаются к обеим ветвям гиперболы. Таким же образом линия может асимптотически приближаться к поверхности, а две поверхности — асимптотически приближаться одна к другой. Так, из центра гиперболоида выходит пучок прямых, образующих коническую поверхность, которая асимптотически приближается к поверхности гиперболоида. Пример. Спираль, уравнение которой в полярных координатах ρ=α+δβ—?, асимптотически приближается к окружности с радиусом ρ=α.
Чаще всего ищут прямолинейные асимптоты кривых. Чтобы найти асимптоты, параллельные оси ординат, у кривой, ургие которой y=f (ж), надо найти все значения х, обращающие у в бесконечность. В частности, если ур-ие кривой дано в виде многочлена, расположенного по степеням у, то вертикальным асимптотам соответствуют те значения х, которые обращают коэфф. при высшей степени у в нуль. Для нахождения асимптот, не параллельных оси у, пользуются-следующими правилами: 1) угловой коэфф. асимптоты m равен lim у/х при ж->оо; 2) начальная ордината асимптоты равна lim (y—mx) при ж->оо. Пример. Дана кривая
X
у — —:—гг-· Угловой коэффициент асим-
1 + е1х
j i
птоты m ·— lim (-— I=0. Начальная
*=00 1 + elX I ~
ордината равна lim [ —--=— *.
х=°° 11 + e ix 2 1
Уравнение асимптоты: у ~ * - — ·
*· 4
Если дано ур-ие кривой второго порядка Ах2+ 2 Вху + Су2 +D=0, то ур-ие асимптот этой кривой есть Ах2+2 Вху+Су2—^). Алгебраическая кривая m-го порядка имеет не больше m асимптот. Алгебраические кривые имеют всегда четное число ветвей, асимптотических данной прямой. Напр., асимптота гиперболы приближается к двум ветвям кривой (чертеж см. в ст. Гипербола).
Лит.: П о с с е К. А., Курс дифференциального и интегр. исчисления, Берлин, 1923; Pruvost Е., Legons de G6ometrie analytique, v. 1, P., 1884.