> Техника, страница 22 > Бесконечное произведение
Бесконечное произведение
Бесконечное произведение, предел произведения неограниченного ряда чисел а,. аг..то есть предел р„ - Oj-α*.,.ав,
когда п стремится к бесконечности. Необходимым, но не достаточным, условием существования такого предела является условие limn„=l. Если р„ не имеет предела,
η=со то Б. п. называют расходящ и м с я. Примеры Б. п.:
гх 2 4 4 6 6 8
2 ~ 3 3 5 5* 7 7
in Я*=ГГ (l - £) (l - t1 - 9л.) (! - !6м) ···’
cos«-(l — S)(l-S)(l-£)····
h х= х (l + *ϊ) (l + 4“,) (l + £,) (l + 4«) · ·
Изучение сходимости безконечного произведения может быть сведено к изучению сходимости соответствующих бесконечн. рядов. Б основе здесь лежит теорема: если множители Б. и. (l -ι с,) (Н-с2) (1+с“). (1+с“)., начиная с нек-рого, представляют собой по ложительные числа, то для сходимости оее-конечного произведения необходимо и достаточно. чтобы сходился следующий ряд: Ci+c2H-e3-r .·.+<?*+ ···
Г. Э. т. II.
14
Бесконечное произведение часто употребляют для выражения трансцендентных функций, которые плохо выражаются бесконечными рядами.
Лит.: Κηυρρ К., Theorie und Anwendung d. uaendlichen Heihen, 2 Aufhige, B., 1924; Prings-h i m A., Ober d. Konvergenz unendlicher Prudukte, «Math. Annalen», Berlin, B. 33.