> Техника, страница 22 > Бесселевы функции

Бесселевы функции

Бесселевы функции, неограниченная последовательность функций 1₀{х), J^r1(a?), 1₂(х),. 1_р(х),. определенной конструкции. Интегрируя уравнение Лапласа (в теории возмущения планетных движений) в кругово-цилиндрических координатах, Бес-сель пришел (1816) для разыскания одной из составных частей интеграла к обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка:

dv, dx·

dy ’ dx

+ (¹-χ·>=«

(1)

и для интегрирования этого уравнения ввел функции, которые и получили название Б. ф., или ц и л индрических функций. Позднее эти функции получили широкое применение во всех прикладных дисциплинах и в настоящее время особенно часто встречаются в расчетах теории упругости, при исследовании скалярных и векторных полей (по большей части при наличии осевой симметрии), а также при расчетах электрического тока в проводах.

Руководясь исключительно соображениями возможного упрощения задачи, Бессель ограничился тем случаем, когда р (в ур-ии 2) есть целое положительное число. Б этом предположении бесселево ур-ие (2) имеет только один частный интеграл (не считая постоянного множителя), сохраняющий при £=0 конечное значение. Этот интеграл выражается рядом:

I (-D* (*

^lP^{y >} Li Г(к)Г(р+к) 2)

V Р + 2*

(2)

где Г (к)=к

Он сходится для всех как вещественных, так и мнимых значений х и таким образом определяет целую аналитическую функцию, так называемую Б. ф. p-то порядка. При р=0 тот же ряд [Z’(0)= 1] дает простейшую Б. ф. 1₀(х) или просто 1{£), которая встречается чаще всего; вследствие этого ее часто называют просто Б. ф. Она таким образом удовлетворяет уравнению

d *y i i

dx х

dx + y=⁰

(3)

н очень просто выражается определенным интегралом

1(х)=1₀(х)~

со

2 sin χβ

^К J Vo·-1

άθ.

(4)

Из этой простейшей Б. ф. могут быть получены все Б. ф. высших порядков путем рекуррентной зависимости:

In+i(x)-ⁿxIn(x)-^dIndx^X) (5)

Тому же диффер. ур-иго (4) удовлетворяет ташке функция, выражающаяся определенным интегралом:

Y(x)=Y₀(x₎=lj‘^_i^X}_ide. (6)

Это—простейшая Б. ф. второго рода, из которой получаются Б. ф. второго рода высших порядков при помощи того же рекуррентного соотношения (6). При помощи функций 1„(х) осуществляется разложение ряда (1), коэффициенты которого выражаются в определенных интегралах.

Начиная с Ломмеля (1868), стали изучать Б. ф., соответствующие но только целым, но и любым вещественным и даже мнимым значениям параметра р. Соответствующая Б. ф. 1_р(х) выражается тем же рядом (3), в к-ром Г(р + к) есть значение Эйлеровой ψ-ии Г(х) при х=р + к. Б. ф. дробного порядка применяются при решении задач теории упругости.

Как известно, Фурье указал разложение в тригонометрический ряд иериодическ. функций и воспользовался этим разложением для решения различных дифференциальных ур-ий теории упругости и теплопередачи. В более сложных случаях бывает полезно применять разложение в ряд по ортогональным функциям Бесселя 1„(χξι):

f (х)=А о + A ₁Ι_ρ(χξ₁) + А.,1_р (χξ₂) +., (7) где £ι, ς₂,— последовательные корни ур-ия I_p(x)=0.

В виду большой важности Б. ф. для целого ряда практических вычислений составлены подробные таблицы, дающие значения Б. ф. для действительных и комплексных значений аргумента, значения корней этих функций, нх графики и т. д. При пользовании этими таблицами вычисления с этими функциями не представляют затруднений.

Лит.: Краткое изложение диффер. vp-iiit Бесселя: Т а м а р к и я М. Д. и С м и р и о в В.И., Курс выс-шей математики, т. 2, Л. 1926; Давни» А. Н. «Изв. Довск. Политехи. Ин-та», 1913 и »Изв. Ека-териносл. Горного Ин-та», 19 ιό; N i .· 1 s о и N H.mdbuch d. TliLorie d. Zylinderfunktionen, Lpz., 1904 (лаиболее оОширная монография но Б.ф. с обстоятельными лит. указаниями); Schaifh.itlin р., Die, The. rie d. Bessclschen Funktionen,Lpz, i 908; подроби. перечень ф-н, кривые и Tai л.: Jahak» E. u. E т-d e F., Funktionentafeln mit Formeln и. Kurven, Lpz, 1923; применения теории Б. ф.: Μ i s e s К., Die Differential u. Inti gr.ilgleichungen dor Mechanik u Physik, Brschw., 1 9 25; W a t s о n, Theory of Bessel Functions Cambridge, 1922. В. Каган и Я. Шпнльрайн