Бином ньютона

Бином ньютона, одна из важнейших формул в математике, имеющая целью выразит!. степень суммы двух количеств через степени этих количеств. В простейшем случае — целого положительного показателя формула Б. II. имеет вид:

(а - Ь)^п=а” + С,¹, (i"-¹ q + С?, а"-* Ь² +. + + С» а^п~^к ( + · + сЦ Ь", где

Р* η! n(n-i). (n-ft+1)

» ftl<n-ft)i”* 1.2.ft

есть число сочетаний из п элементов по /с; для чисел с£, называемых биномиальными коз ффициентам и, принято также обозначение (*). Основные свойства биномиальных коэффициентов:

1) <£ + ct*¹ - c£:j; 2) V С*=2";

3) 2 С*(-1)·=0,

о при чем в двух последних ф-лах положено С“= 1. Ф-ла Б. Н. для целого положительного показателя была известна уже до Пыотона; ему же принадлежит важная заслуга распространения этой ф-лы на случай показателей дробных и отрицательных. В этих случаях правая часть ф-лы обращается в бесконечн. ряд; прежде всего мы получаем:

(1+х)“=(“) +(“) л²+. + (“)ж“ +.,

где попрежнему

(и д(а — 1). (а — ft + 1) /а _.

к) 1.2.h ’ w

Этот бесконечный ряд сходится, когда |х|<1, и сходится тем быстрее, чем меньше |х|. Если же нужно получить разложение для (а + Ь)^а, то, допуская, что |aj>;&j, пишут: (α + δ)^α=α^α (l + ^“и,полагая ^=л,применяют предыдущее разложение, причем, очевидно, |л| < 1. и, следовательно, получаемый бесконечный ряд является сходящимся. Б. И. дает т. о. возможность приближенно вычислить многие иррациональные выражения, содержащие радикалы, в особенности

1П

выражения вида V +xⁿ. д. хинчин.