Брахистохрона

Брахистохрона, кривая быстрейшего спуска, относится к вопросу механики о движении материальной точки по данной линии под действием силы тяжести. Между двумя точками А и В, находящимися на различной высоте над горизонтом, можно представить себе бесчисленное множество различных линий, по которым материальная точка, принужденная оставаться на такой линии, может совершать свой переход из верхнего положения в нижнее под действием силы тяжести. Время этого движения зависит от разности высот, начальной скорости и вида заданной линии. Б. называется та из линий, соединяющих точки Л и В, по которой движение совершается при той же начальной скорости в кратчайший промежуток времени. Такой линией оказывается циклоида, которая лежит в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В, описана точкой окружности, катящейся по горизонтальной прямой. обращена выпуклостью книзу и имеет в точке В горизонтальную касательную (смотрите фигура).

Задача о Б. относится к вариационному исчислении“ (смотрите). Но закону живой силы, скорость материальной точки независимо пт вида пути определяется формулой: Vvl + 2gy, где у—высота иа-

дення η какой-нийу хь момент времени t. v —начальная скорость в точке А, о—ускорение силы тяжести. Обозначил чс1 ез Т время всего движения из А в В, но формуле v=ds/dt находим:

Т=Г-- — д к»?-К fi у где интегрирование распространено на длину пути, s, между точками и В, и ур-ис кривой рассматривается как зависимость между з и у. Эта зависимость Д. б. найдена такою, .чтобы интеграл для Т был минимум. Задача о Б. может быть обобщена: 1) в том смысле, что вместо силы тяжести предполагается действующей какая-либо другая сила, имеющая потен -циал (смотрите); 2) тем, что Б. предполагается лежащей на заданной поверхности.

Первое решение вопроса о Б. для силы тяжести принадлежит Лейбницу и Якову Бернулли. Эта задача совпадает также с задачей о кратчайшем времени прохождения света через среду, плотность которой возрастает по тому же закону, как скорость падающей материальной точки. В таком виде задача эта была решена Иоганном Бернулли.

Лиги.: Р о i s s о η S. D., Trait6 de meranique. t. 1,

2 Ы., Р.,1833; М ac h E., Die Mechanik in Hirer Ent-wicklung, Lpz., 1908 (в русск. попев.: Max К., Механика, СПБ, 1909); Schell W., Theorie d. Bewe-

gung ii. Krafte, TE 1. Lpz., 1879; Λ p p e 1 1 P., I raitd de mOcaniqm rationnelle, t. 1, P., 1909 [в русск. перец.: Аппель И., Руководство теоретической (рациональной) механики, М., 1911].