> Техника, страница 28 > Вариационное исчисление

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление, отдел анализа бесконечно малых, основным методом которого является непрерывное изменение формы функции при тех же значениях независимых переменных. Этот метод, которым фактически пользовались еще Ньютон и бр. Бернулли, был разработан обстоятельно во второй половине 18 в., гл. обр. Эйлером и Лагранжем, давшими общие правила для его применения. Метод возник при решении задач, требовавших разыскания функции, при которой заданный определенный интеграл, содержащий эту функцию и ее производные, получает наибольшее или наименьшее значение.

Простейшая из этих зад^ч заключается в следующем. Дана функция F(x, у, у) от трех аргументов, причем х есть независимая переменная, у — некоторая функция от х, то есть у=у(х), у—производная этой функции. Геометрически уравнение у=у(х) представляет кривую С на плоскости ху.

Рассмотрим J F(x, у, y)dx, где х_а и хj— *0

данные числа; при заданной функции у(х) этот определенный интеграл получит некоторое числовое значение; заменяя у{х) другой функцией у(х), мы получим, вообще говоря, другое значение того же интегра-

^Х1

ла. Таким образом jF(x,y,y)dx получает

Х₀

разные значения в зависимости от того, ка-кая функция поставлена на место у. Введем ограничение, потребовав, чтобы все кривые С имели общую начальную и конечную точку. Эти условия запишутся равенствами: у=у₀ при х=х₀; у=у_г при x=x_t (у₀ и заданные числа); эти равенства называются граничными условиями. Простейшая задача В. и. состоит в следующем: среди всех функций у(х), удовлетворяющих граничным условиям у(х₀)=Уоу У(^хi)~Vi [иначе—среди всех кривых С, проходящих через точки (ж„, у₀) и (х_1} j/j)], найти такую, для которой числовое значение fF(x,y,y)dx

будет наименьшим или наибольшим (максимум и минимум объединяются в общем понятии экстремум).

П р и м е р 1. Длина линии с уравнением у=у{х), соединяющей точки (х₀, у₀) и (x_lt уi),

_

выражается интегралом J (/1 + у² dx; гра-

ничные условия: х=х₀, у=у₀ их=х₁, у=у_г. Задача о нахождении кратчайшей линии между двумя точками есть задача В. и., где F (х, у, у) есть j/l +з/².

Пример 2. Точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости из точки А в точку В по некоторой кривой; найти форму этой кривой, при которой движущаяся точка приходит из А в В в кратчайшее время,—задача о брахистохроне (смотрите). Примем вертикальную плоскость за плоскость ху, поместим точку А в начале, ось у направим вертикально вниз; пусть координаты точки В будут х^,у_х. Если точка при падении опустится на расстояние у, то она, как известно, приобретет скорость »=J/2ду. С другой стороны, по общим формулам механики отсюда

dt

Vzgy -

и, следовательно, dt =

V 20 V

dx

dx.

Время T, потребное для падения точки из А в В, выразится интегралом

_TJ(Vj+l^_dx^j Г VIW

J у2ду у 2 £

nVTW· J Vy

V

υ υ

Итак, задача о брахистохроне кривой, дающей

dx.

к нахождению интегралу сводится минимум

I

’ У ¹+^^,а

V у

dx

при граничных условиях: у(0)=0, 3/(ж₁)=2/₁.

i 1+у" т У

Здесь F имеет вид

Функция F, как видно из этих примеров, может зависеть не от всех трех аргументов, но она должна зависеть от учтобы задача решалась методами В. и.

Основной метод для нахождения необходимых условий экстремума (максимума или минимума)" есть метод вариирования. Пусть кривая С с уравнением у=у{х) да-*1

ет интегралу §F(ж, у, y)dx, при данных граничных условиях, наименьшее значение по сравнению со всеми другими кривыми С (кривыми сравнения), подчиненными тем же условиям и расположенными достаточно близко от С (последним условием, как и в дифференциальном исчислении, определяется «относительный минимум»). Обозначая вообще численное значение нашего интеграла для кривой К через Т_к, имеем так. обр. неравенство: J_c<J_a. Рассмотрим целое семейство кривых сравнения С, определяемое уравнением у=у(х)+ау(х),

где ее—параметр, у(х)—произвольная функция, удовлетворяющая условиям: у(х„)=0,

η(Χι)=0, Т. К. у(х₀)=У(х₀)=Уо, y(Xi)=2/Сч)==у_г; очевидно, при ес=0, получаем кривую С, а при малых значениях ее—кривые, близкие к С. Вычисляя 1-_с, получим интеграл как функцию параметра се, входящего через посредство у и у; обозначим ее через Ф(се), то есть

*1 _

l-_c=jF(x, у, у) dx= Ф(а).

Х₉

Из предположения, что 1_Симеет минималь-ное значение, вытекает минимум функции Ф(а), при се=0; т. о. вопрос сведен к задаче, решаемой методами дифференциального исчисления. Необходимым условием минимума является равенство Ф(0)=0. Нахождение Ф(0) является частным случаем варииро-вания; результат вариирования называется вариацией и обозначается символом 6.

Итак, процесс вариирования величины, зависящей от функции у(х), заключается в том, что мы заменяем эту функцию более сложной функцией у{х)+ау(х), содержащей параметр ее; вследствие этого заданная величина становится функцией этого параметра. Продифференцировав эту функцию по а, полагаем в результате се =0; результат представляет собой вариацию заданной величины. Условие, чтобы заданная величина достигала максимума или минимума, заключается в том, что ее вариация должна обращаться в нуль, как бы ни была выбрана произвольная функция у(х).

Как уже сказано, этот прием чаще всего приходится применять к вычислению экстремума определенного интеграла. Поэтому, по установлении этих идей, следующим шагом в В. и. является вычисление вариации определенного интеграла, к-рый, как выяснено выше, в простейшем случае имеет вид:

Х_х

1с=Щ.Х, у, у’) dx.

Заменяя здесь у(х) через у(х)+а у(х) и, следовательно, у через у(х) + ку(х), получим:

1-_с=Fix, у{х) + « п{х), у(х) + « Ч(х)1 dx.

Это "выражение нужно продифференцировать по а и в результате положить <г=0. По известному правилу дифференцирования определенного интеграла, это дифференцирование придется выполнить под знаком интеграла. Так как, с другой стороны, это выражение получится из интеграла 1_С указанной выше заменой функций ужу, так что « входит только в новые выражения для ужу, то дифференцировать подинтегральную функцию придется, как сложную функцию. Если через F, и F_y, обозначим производные функции F(х, у, у по у ж у, то производная интеграла 1_е по а, в которой а положим равной 0, даст вариацию (Ч_сввиде

*1с=/i^yVipc) + Fy, η χ)] dx.

^xo

Дальнейшее преобразование, в к-ром главным моментом является интегрирование второго слагаемого по частям, дает:

Х₁

*&= I (^F*~k Fy) ч(») ^dx-

Чтобы интеграл 1_С получил наибольшее или наименьшее значение, необходимо, чтобы эта вариация обращалась в 0, то есть чтобы

J ~fc_c-F’yj ν{^χ) dx=0

при произвольной функции у(х); именно вследствие этого произвола, как устанавливает т. н. основная лемма В. и., это равенство возможно лишь, если 1-й множитель под знаком интеграла равен 0. Так. обр. дающая экстремум функция у(х) необходимо удовлетворяет ур-ию Лагранжа-Эйлера:

или подробнее

Fy F_xу, — Fyy.y —Fy.yf у =0, где F_xy,_t F_yy., F_{y y}, суть вторые производные функции F по соответствующим переменным. Это—дифференциальное ур-ие 2-го порядка для у, его интегральные кривые называются экстремалями. Общее решение имеет вид:

у= φ(χ, а, β),

где а и β—две произвольные постоянные; в нашей задаче для их определения служат два граничных условия:

<р(х₀, к, β)= у₀ и ψ{χ₁, а, β) =у₁. Определив из них а ж β ж вставив их значения в функцию ψ, мы получим экстремаль, проходящую через две заданные точки. В примере 1-м

F=Vl + у>, F_y=0, F_y, —

у

V i+у^!

Уравнение Лагранжа - Эйлера имеет вид

d

^dx V 1+у¹

— =0, или у

(i+y²F

-= 0, или у"=0.

Интегрируя, находим: у—ах+b; экстремали—прямые линии. В примере 2-м

F —— F *у ах¹ у

χ/ι+ν “ I_у^__’

2yi ^dxWV- V 1 + У^!.

= 0.

Найдя экстремаль, необходимо исследовать, дает ли она действительно экстремум и что именно—максимум или минимум. В дифференциальном исчислении для решения аналогичной задачи исследуется знак второй производной; в В. и. прежде математики (Якоби) шли путем изучения второй вариации (второй производной по к при α=0). Но Вейерштрас показал, что т. о. мы еще не получаем достаточных условий экстремума; он дал теорию, основанную на непосредственном сравнении 1_С и 1-_с

Кроме простейшей задачи В. и., существуют и другие, например, один или оба конца экстремали, вместо условия проходить через данную точку, м. б. подчинены условию лежать на заданных кривых; тогда дифференциальное уравнение экстремалей остается неизменным, но ур-ия граничных условий принимают другую форму (таковы задачи о кратчайшем расстоянии от точки до кривой или между двумя кривыми)Далее, подинтегральная функция F может зависеть от двух (или от п) искомых функций. Пусть, например,

^xi

I_c—Jf(_x, у, у, z, z) dx,

« - *0

где у(х) и ζ(χ)—искомые функции; граничные условия для случая неподвижных концов выразятся так: у(х<,)=у_в, у(х₁)=у₁, ζ(χ₀)=z₀, z(x₁)=z₁; х₀, у₀, z₀, х₁, у, z_x — заданные числа. Для вариации мы получим (после интегрирования по частям):

Приравнивая ее нулю и применяя основную лемму, получим два ур-ия Лагранжа-Эйлера для нахождения двух искомых функций:

К,

4 ^Fr =ои^4^

=0.

С другой стороны, можно разыскивать методами вариационного исчисления экстремум интеграла

§ l_c= f F (“, У, уyW)dx;

дифференциальное уравнение экстремали в этом случае имеет вид:

dH

dx²

оно — порядка 2w; в качестве граничных условий в случае неподвижных концов задаются значения функции у и η— 1 ее производных при х =х₀ и х =х₁. Расширяя постановку вопроса в другом направлении, мы придем к задаче об экстремуме двойного интеграла, распространенного на заданную площадь S, ограниченную кривой С:

I=J7 F(x, у, z, z_x, z_y) dx dy. s

Значение I зависит от выбора функции z от двух независимых переменных х и у; z_x и z_y обозначают частные производные

dz dz „

^ и_а-;в качестве граничных условии в простейшем случае задаются значения, которые искомая функция должна принимать на контуре С. В этом случае для определения z получается уравнение с частными производными 2-го порядка:

д тл а

±

άχη

F_y т=о

F,-

я - F_z —_7rF_z =0. ах ~^lx ay ^zy

Встречаются и более сложные задачи, где Έ выражает зависимость от частных производных функции s· порядка второго и высших.

Ha-ряду с изложенным способом решения задач В. и. (сведением их искусственным приемом к дифференциальным ур-иям), в последнее время все большее распространение получают т. н. прямые методы, ставящие целью непосредственное разыскание функции, решающей задачу В. и. Из них для приложений особенно важен метод

Ритца—нахождения приближенного решения задач В. и. Сущность его такова. Выберем систему функций ω₁(*), о>₂(ж), ω₃(χ),. так, чтобы их линейная комбинация в конечном числе:

^-^i+CA+^.+VV (с₁,с₂,.,с_п— постоянные) могла с любой точностью представить всякую непрерывную функцию, удовлетворяющую данным граничным условиям [такова для граничных условий 2/(0) =0, у(я)=0 система: sin®, sin-2®, sin3a:,.; для любого интервала и любых условий на концах—система соответственным образом подобранных многочленов от ж]. Задав число п, подставляем выражение у_п на место у в 1₀ и интегрируем, рассматривая с_х, с₂,.,с_пкак параметры:

X_t

SF{x, у_п, y^)dx= Ф(с_1; с₂,.,с„).

Находим экстремум этой последней функции по правилам дифференциального исчисления; имеем п уравнений:

дФ _ „ эф_ „ дФ _ „

0с7 ^— 0с, ^υ’···> dCfi ^U

для определения и неизвестных с_х, с₂,.,с„. Вставляя найденные значения в выражение для у_п, найдем функцию, приближенно представляющую экстремаль. Приближение, вообще говоря, будет тем точнее, чем ббльшим числом членов п мы задаемся.

В. и. имеет большое приложение в механике, в связи с так называется принципом Гамильтона. Рассмотрим сначала этот принцип в применении к механике системы точек. Пусть положение системы вполне определяется п независимыми параметрами (обобщен, координаты) q_lt q₂,. ,q„. Чтобы знать движение, нам надо определить q_lt q₂,.,., q_n в функции времени t. Так как в нашем случае связи не зависят от времени, живая сила (кинетическая энергия) системы имеет вид:

П

^ ^ dt ^1 ’ · ’ Qn) Q.i ⁽ik t

- ϊ~

где ki =

dqi

dt

Пусть внешние силы зависят только от положения системы точек и имеют потенциал; тогда потенциальная энергия "будет функцией положения системы: V=V(q₁,q₂,.,q_n).

Принцип Гамильтона утверждает, что истинное движение в промежуток времени от £₀до ij протекает так, что для интеграла t,

I=J{T-V)dt

t,

искомые функции q_{(t) обращают в 0 его вариацию: όΙ=0. Т. к. в большинстве случаев действительного движения этот интеграл есть минимум, а функция T— V носит в механике название действия, то данный принцип часто называют принципом наименьшего действия. Применяя методы В. и. и замечая, что V не зависит от q_lt q₃,., мы приходим для определения п функций qff) к системе из п дифференциальных уравнений:

— — (T-V)=0,

dt dqi I dqi где г=1,2,.,.,η.

Это·—ур-ия движения в форме, указанной Лагранжем.

В применении к механике системы принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона, представляя простую математическую формулировку законов движения. Распространенный на механику непрерывной среды, он дает возможность легко выводить дифференц. ур-ия движения. Возьмем, например, случай колебаний упругого стержня, расположенного на оси х с концами при х=0 и х =1; обозначим через u(x,t) отклонение точки с абсциссой х от положения равновесия в момент времени t. Обозначая через д линейную плотность стержня, получаем для Т выражение;

i

Т= J Qu_tdx.

О

Потенциальная энергия элемента длины dx стержня пропорциональна квадрату кривизны; пренебрегая в выражении кривизны

“ХХ

по малости и_х членом и_х в знаменателе и беря фактор пропорциональности в виде ~, имеем для потенциальной энергии всего стержня;

i

^v=i S /*Kx^dx·

о

Принцип Гамильтона дает:

t

I

(T-V)dt= О,

t

о или

К i

0 ^ ^ (yWf-- ^uzx) ^dxdt =°·

О

Применяя формулу вариации двойного интеграла, получаем:

Ot ((Mt) + £ϊ(μιι_χχ)=О,

или, в случае постоянных д я μ,

Qu_u + μΜχχχχ=0.

Помимо теоретич. значения, принцип Гамильтона в последнее время получает все большее значение в приложениях, где он позволяет весьма трудную задачу решения дифференц. ур-ий с частными производными при заданных граничных условиях заменить задачей нахождения экстремума интеграла, для приближенного решения которой применяется, например, метод Ритца.

Лит.: Егоров Д. Ф., Основания вариационного исчисления, М.—П., 1923; С о u г a n t К. und Hilbert D., Metboden d. mathematischen Physik, В. 1 Berlin, 1924; Frank R. und M i s e s R., Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Pbysik, Braunschweig, 1925, В. Степанов.