Вибрации

Вибрации, колебания упругого тела. Если вывести упругое тело из состояния равновесия и вызвать упругую деформацию f, то тело будет напряжено; если его вновь предоставить самому себе, то потенциальная энергия сил упругости поведет тело назад к состоянию равновесия. Этому обратному движению будет сопротивляться инерция массы тела, причем движение будет тормозиться, и масса, поглощая потенциальную энергию деформированного тела, приобретает кинетич. энергию движения. Когда тело придет в положение равновесия, ки-

Фигура 4.

нетич. энергия возрастет до полного значения потенциальной, и сила инерции поведет тело от положения равновесия в противоположную сторону до тех пор, пока не вызовет деформацию f. В этот момент кинетич. энергия вся будет израсходована, но зато напряженное тело будет иметь полный запас потенциальной энергии. Затем последует движение в обратном направлении, и т. д. Если бы никаких сопротивлений не было (трение, сопротивление среды и другие), то получилось бы вечное движение с постоянной амплитудой. В действительности эти колебания угасают довольно быстро. Когда сопротивления малы и ими можно пренебречь, вибрация является функцией двух сил—упругости и инерции. По Далам-беру (d’ Alambert)

Р+И=0, (1)

где Р—сила эквивалентная силам упругости, а И—сила эквивалентная силам инерции.

Всякая деталь машины и всякое целое сооружение, простое или сложное, под действием толчка дает свою свободную, или собственную, В., период которой определяется ур-нием (1). Т. о. период В. зависит от параметров упругости (размеры сооружения, способы закрепления опор, моменты инерции, модули упругости) и параметров инерции (массы, ускорения). Возбудителями В. могут быть все станки и машины, у которых малейшая неравномерность хода оказывается достаточной для порождения В. в деталях самой машины (в колесах, на валу, в станине, потолочных балках, колоннах, стенах, здания и т. д.). При этом каждый толчок в машине возбуждает В. сразу во всех названных деталях и сооружениях. Под действием сопротивлений вызванная В. будет угасать, но если возбуждающие толчки по своему ритму совпадают с ритмом собственных В. сооружения или одной его детали, то получается накопление деформации, или так называемый резонанс. Критическим числом возбуждающих толчков называют то число их, которое совпадает с числом собственных колебаний тела в единицу времени. Каждой детали сооружения соответствует определенное критическое число.

В виду того, что абсолютно упругих тел нет, часть энергии возбуждающих толчков идет на преодоление необратимых молекулярных сопротивлений, чем и объясняется так называемым у п р у г и и гистерезис.

Чем меньше этот гистерезис у тела, тем опаснее для него возникновение В., так как большая часть возбуждающего импульса пойдет на изменение упругого состояния (количества движения), причем неизбежно накопление деформации. Наоборот, чем больше упругий гистерезис какого-либо тела, тем, при прочих _фиг j равных условиях, менее опасны возникающие в нем вибрации, так как последние сопровождаются меньшими упругими деформациями. Вследствие этого у большинства тел при наступлении резонанса амплитуда вибраций возрастает только до некоторого определенного предела.

1. Балки. Пусть брус АВ (фигура 1) подвергается растягивающему действию груза G, причем весом самого бруса можно пре-

Q. I

небречь. Статическая деформация λ₀=-^-р, (где I—длина бруса, F—площадь поперечного сечения его и Е—модуль упругости первого рода) не влияет на В. Под действием какого-то другого усилия Р брус получит временную динамич. деформацию λ

ρ·ι

E-F

которая, вследствие кратковременности действия Р, пойдет на убыль, причем разовьется сила инерции массы груза G. По формуле (1)

dt‘

Е F

λ=0,

откуда где

d‘X

dV-

+ кЧ=О,

(2)

к² -

Чт· (3)

Из дифференциального уравнения (2) определяется период одного полного колебания бруса

Т =

2π

(4)

Подстановкой из ур-ия (3) величины к в ур-ие (4) находим Т, выраженное в секундах. Число собственных колебаний бруса в минуту будет п=j- (5)

При таком числе возбуждений в минуту брус попадает в состояние резонанса. Т. о. критическое число для бруса п =

-V

E-F-g

G-l

При изгибе балки число ее собственных колебаний в минуту определяется аналогично. Разберем два основных случая.

Случай 1. Балка защемлена одним концом, а на другом конце нагружена весом G. Собственным весом балки пренебрегаем. Динамич. прогиб f будет вызываться кратковременной дополнительной нагрузкой Р. Сила упругости, соответствующая динамич. деформации, будет p=~^f, где I—длина балки, a EI—ее жесткость. Сила же инерции будет выражена так (для груза G):

^{G d}f "г о. из уравнения (1) найдем: d’f, аЕ_г „ „ д ’ di ‘ I^х

•откуда получается дифференциальное ур-ие

% + *V= о, (6)

при чем

И — ь. ίΐ. Т

g dt‘

к² =

ЗЕ1д G1³

Т--

Так как ур-ие (6) аналогично ур-ию (2), то пользуемся решением его (4) и получаем:

~GP~

bЕ1д ’

откуда критическое число в минуту

”-Т/Ш- (⁷>

Случай 2. Балка свободно лежит на двух опорах и посредине нагружена грузом •G. Этот случай отличается от предыдущего только числовым коэфф-том в выражении силы упругости, соответствующей динамической деформации. Именно в этом случае

P=~f.

На этом основании сразу получаем критическое число

48 Е1д

(8)

При определении колебаний балок с учетом собственного веса их часто пользуются приближенными коэфф-тами, при помощи которых распределенный груз балки заменяется эквивалентным ему сосредоточенным грузом. Так, для балки постоянного сечения, защемленной одним концом, вес ее Q можно заменить сосредоточенным на свободном конце грузом, равным 0,25 Q, а для балки, свободно лежащей на двух опорах, распределенный вес ее можно заменить сосредоточенным в середине пролета грузом, равным 0,5 Q. Затем задача будет решаться так же, как изложено выше, по формулам (7) и (8).

2. Валы жесткие. Для длинных пароходных валов, а также трансмиссионных валов вычисление периода собственных колебаний м. б. сделано по следующему плану. Пусть (фигура 2) дан вал АВ, у которого на конце

имеется некоторая шайба С (шкив, муфта, зубчатое колесо и прочие). Элемент этой шайбы dm, двигаясь по дуге круга ds радиуса р, подвергается тангенциальной силе инерции (дифференциальной)

7 d²S J d² α

dm · -ttj=dm-Q-rr-. ·

at- ^s at·⁵

Дифференциальный момент этой силы относительно оси вращения

dM_u =

откуда Ми=0~. где Θ—момент инерции тела шайбы относительно оси вращения. В то же время момент упругих сопротивлений вала скручиванию будет

Так как то отсюда

Μ=ψ а.

Ми + 31=0,

^е-^+пг-«=°; £ + **-0·

А² =

ы при чем

1_а — полярный момент инерции сечения вала относительно оси вращения, G—модуль упругости 2-го рода, I—длина вала. По аналогии с вышеизложенным определим критическое число:

(9)

Т. Э. m. III.

Этот вывод построен в предположении невесомости самого вала. Если же учесть распределенную массу самого вала, то нужно вычислить момент инерции тела вала относительно оси вращения его (назовем его 0₀) и взять для расчета 0,3 3 6₀, считая уже всю массу сосредоточенной на конце вала.

3. Валы гибкие. В быстроходных машинах (например паровые турбины) при малейшем эксцентриситете масс на валу получаются громадные центробежные силы. При определении диаметра такого вала можно исходить из двух совершенно различных положений: 1) можно определить прочные размеры вала, учитывая центробежные силы; в этом случае получаются солидные размеры всей конструкции, но расчет затрудняется вследствие того, что эксцентриситет массы на валу фактически остается неизвестным; 2) можно вычислить критич. скорость вала и затем, по возможности далеко от нее, назначить фактич. скорость; в этом случае конструкция получается легкой, и расчет вполне доступен, вал же называется гибким, так как он не может сопротивляться указанной центробежной силе и легко гнется. Способность такого вала держаться против этой силы выясняется из фигура 3. Здесь вверху показан гибкий вал в Фигура з. изогнутом положении,

при чем осью вращения служит кривая линия АВ; ц. т. сосредоточен в точке М_г эксцентрично по отношению к оси вращения, е—эксцентриситет. Как видно, центробежная сила стремится еще больше изогнуть вал. Однако через полоборота точка M_t займет положение М_г, и центробежная сила будет теперь направлена уже вниз, вследствие чего вал будет выпрямляться.

Предположим, для общности, что, деформация вала пойдет не по направлению эксцентриситета, а в сторону от него. Пусть SS (фигура 4) будет направление недеформи-рованной геометрической оси вала, ОА—

Фигура 4.

стрела прогиба его в сечении, проходящем через центр тяжести, АС—эксцентриситет. Пусть координаты точки А будут х_а и у_а, а точки С—£ и η. Раскладывая силы по координатным осям, получим:

т dp + кх_а=0; т^ + ку_а=0. (10)

Назовем эксцентриситет АС через е. Тогда, как видно из фигура 4,

#e=£ + ecosi; у α= η + e sin ί. (11) Если ω—угловая скорость вращения, a t— время, то S=wt. Тогда уравнения (10) получают следующий вид:

т+ к (ξ + е cos at) — 0;

d²Tj

(12)

т -f к {η + e sin wt)=0.

Введем теперь подстановку:

I=ξ + b cos wt; η=-9- -f b sin wt, (13)

где ξ и &—новые переменные величины, а b—константа. При такой подстановке мы в праве наложить на величину b какое угодно условие, чем и воспользуемся далее. После двойного дифференцирования ур-ий (13) и подстановки в (12) найдем:

т (-fp—δω² cos wt}-{-k (£+bcosa>i-l-ecosa>i)=0;

m — bco² sin wt} -+- к(5-+6sin ωί-j-e sin wt)= 0;

или после приведения подобных членов:

. d%

d>»

7 + 7ίξ + (кb + ke—mbwA) cos wt=0;

t + k& -f (kb + ke—mbuA) sin wt=0.

(14)

Теперь наложим на величину b условие, чтобы откуда кb + ке — тbоА=0, b= ^ке

тш‘ — к

Тогда из уравнения (14)

m + Ι(ζ=0;

d’9

di’

Ы= 0.

Из (15) видно, что при

ΊΓ

(15)

(16)

(17)

b обращается в бесконечность, следовательно на основании (13) и (11) заключаем, что координаты точки А обращаются в бесконечность, то есть вал разрушается. Напротив, при величина b имеет конкретное конечное значение. При очень большом значении ω величина b приближается к нулю. Тогда из (13): ξ=ζ, и η=ϋ·. Ур-ия (16) характеризуют колебательные движения вала, которые при большом ω по сравнению с у/~~ оказываются за пределами критическ. скоростей. Таким образом при расчете гибкого вала следует: 1) рассчитать его на передаваемый крутящий момент; 2) проверить по формуле (17), для чего нужно вычислить величины ω, к и т [см. формулы (7) и 8)].

4. Веретена. В. веретен отличается той особенностью, что, по мере наматывания на катушку пряжи, масса системы веретена все время изменяется, а вместе с тем изменяется также и критич. число. Именно, с увеличением намотки критическ. число понижается.

Экспериментальное исследование В. ватерных веретен (хлопковых), опорных и подвесных, проведено в Кабинете прикладной механики Московского текстильного ин-та на специально построенной машине при помощи быстроходного вибрографа (смотрите).

Из этих опытов найдено: 1) веретено опорное вибрирует сильнее, чем подвесное; 2) у подвесных веретен расстояние между опорным седлом втулки и средним сечением блочка резко влияет на вибрацию: чем это расстояние больше, тем больше В. веретена;

3) амплитуда В. стандартного веретена, измеренная по верхнему концу шпинделя, в неблагоприятных случаях превосходит 2 миллиметров;

4) В. данного веретена, при данном количестве намотанной пряжи и данном числе оборотов, носит устойчивый характер; 5) способ посадки шпули на веретено (плотная посадка нижней частью в чашечку или верхней частью на шпиндель, зазоры и тому подобное.) резко влияет на В. веретена; 6) натяжение шнура на вибрацию опорного веретена не влияет. Что касается подвесных веретен, то натяжение отражается на вибрации тем сильнее, чем больше расстояние, указанное в п. 2. См. Тахометр вибрационный, Осциллограф, Сейсмограф.

Лит.: Тимошенко С. П., Курс сопротивления материалов, гл. XIX, 9 изд., Киев, 1916; Rayleigh, The Theory of Sound, L., 1877—78; Μ о r-row J„ On the Lateral Vibration of Loaded and Unloaded Bars, «Philos. Mag.», L., 1906, v. 2, p. 354; Hort W., Technische Schwingungslehre, B., 1922; S t о d о 1 a A., Die Dampfturbinen, 4 Aufl., p. 293, B„ 1910; Lorenz H., Dynamik d. Kurbelgetriebe, Leipzig, 1901; Frahm Η., «Ζ. d. VDI», 1902,

p. 779; Lorenz H., Kritische Drehzahlen rasch-unjlaufender Wellen, «Ζ. d. VDI», 1919, B. 63, p. 240; Oiimbel L., Neue kritische Wellengeschwindig-keit bei mit Biegung verbundenen Schwingungen топ Wellen, «Dinglers polytechnisches Journal», Berlin, 1918, p. 71; Prandtl L., Beitrage zur Frage d. kritisehen Drehzahlen, «Dingler’s polytechn. Journal», B., 1918, p. 179; Fdppl O., Kritische Schwingungen von schnellumlaufenden Rotoren, «Ztschr. fiir d. gesamte Turbinenwesen», Miinchen — Berlin, 1918, Jg. 15, p. 157. А. Малышев.

В. судов. Упругие колебания корпуса судна, вызываемые различными силами периодического характера, благодаря большой частоте (редко ниже 100 пер/м.), уже при сравнительно небольшой амплитуде (несколько миллиметров) отражаются неблагоприятно и на людях и на приборах, находящихся на судне. Они способны также порождать в корпусе судна явления усталости металла (смотрите). Местная В., в которой участвуют лишь отдельные части судна, м. б. устраняема в построенном судне дополнительным усилением корпуса в районе В. В общей В. судна весь его корпус участвует как один упругий брус, и у построенного уже судна она не м. б. устранена путем дополнительных усилений корпуса. Мерами к ее устранению являются: уничтожение усилий, вызывающих В., и надлежащий выбор периода этих усилий, если их нельзя уничтожить. Главнейшие усилия, вызывающие общую вибрацию судна: а) неуравновешенные силы инерции частей машины с прямолинейно возвратным движением; б) силы инерции неуравновешенных частей машины; в) неравномерность вращающего момента главной машины; г) неравномерность осевого давления гребных винтов;

д) удары струй, отбрасываемых лопастями гребных винтов. Период этих усилий либо совпадает с периодом т одного оборота машины [см. (б)] либо составляет от него простую долю вида где п—целое число. В

случае (д) и—обычно число лопастей. Эти усилия вообще невелики и при статическом действии неспособны вызвать заметную деформацию судна. В. судна становится поэтому заметной лишь в условиях резонанса, когда период возмущающей силы совпадает с одним из периодов главных свободных колебаний судна. Для уничтожения вибраций судна часто бывает достаточно изменить период возмущающей силы на 10—15%. Такое изменение числа оборотов главной машины является наиболее действительным средством к устранению В. у построенного уже судна и достигается переменою гребного винта. При постройке судов рекомендуется проектировать нормальное число оборотов либо на 10—15% меньше либо на 40—50% больше критического. Если период возмущающих усилий машины может совпасть с одним из периодов главных свободных колебаний судна, то все такие усилия должны быть тщательно уравновешены при проектировании машины (смотрите Уравновешение поршневых двигателей).

Главные свободные колебания судна—гармонические колебания, из которых слагается его колебание по инерции при отсутствии возмущающих сил; они обладают свойством затухаемости; периоды и формы их зависят от жесткости и массы судна и закона их распределения вдоль него. Основные свободные колебания_ судна: 1) поперечные: а) вертикальные, б) горизонтальные; 2) крутильные и 3) продольные. Каждому роду колебаний соответствуют свои формы и периоды главных свободных колебаний. Продольные колебания наблюдаются всего реже.

Из поперечных колебаний чаще всего наблюдаются вертикальные колебания. В основном тоне их пучности располагаются у концов судна и возле середины его. Две узловые точки получаются приблизительно (фигура 5) на расстоянии 7« длины судна от каждо-

—, ------ „-го из его концов.

Фигура 6 изобража-ф_Иг. 6. ет общий характер упругой линии судна, соответствующей второму тону вертикальных колебаний; в ней имеются 3 узловых точки. В упругой линии третье- .- ------,

го тона узловых точек — 4 (фигура 7). Фигура 7.

За дифференциальное уравнение упругих поперечных колебаний судна обычно принимают: а“ /г«_гз^!»Л, з^!г.

dz‘) 3 3U ~ 0’ (1)

где Е—модуль Юнга; I—момент инерции площади поперечного сечения продольных связей судна относительно его нейтральной оси; q—масса судна, приходящаяся на единицу его длины; v—вертикальное перемещение судна в сечении, находящемся на

Фигура 5.

расстоянии z от его левого конца; t—вре-

d^v d*v

мя. Граничные условия:=0 и=О

на обоих концах судна. Условия сопряже-

ния: V и непрерывны на всем протяжении судна; если масса судна распределена вдоль его оси (не сосредоточена в его отдельных сечениях), то, кроме того, EI ^дд”_г и э _пт зч>

_д - [Ει I также непрерывны.

Горизонтальные поперечные свободные колебания судна вполне аналогичны вертикальным. В их дифференциальном уравнении величина I — момент инерции, взятый не относительно горизонтальной, как у колебаний вертикальных, а относительно вертикальной оси.

При крутильных колебаниях сечения судна поворачиваются вокруг его продольной оси. Крутильное колебание основного тона (фигура 8) имеет одну узловую точку, колеба-

___i ние второго тона—

------два узла; колебание третьего тона—

Фигура 8.

три узла и т. д. (фигура 9 и 10). За дифференциальное уравнение крутильных колебаний судна принимают:

где 0—угол поворота поперечного сечения судна, лежащего на расстоянии z от его левого конца, и

С—жесткость судна -----

при кручении, ко- — торую можно на ₉

ходить по Бредту

t¹·*]; г—полярный момент инерции массы судна, приходящейся на единицу его длины, взятый относительно оси кручения.

Граничные условия: ^=0 на обоих концах судна. Если вся масса суднараспределена вдоль его (не сосредоточена лишь в его отдельных сечениях), то условия со-

.09 „

пряжения: 0 и _д- непрерывны на всей длине судна.

Продольные колебания судна по форме сходны с крутильными. Их дифференциальное уравнение:

где w—осевое перемещение сечения, находящегося на расстоянии z от его левого конца; F—пло-

——1:_χ-щадь поперечного сечения продольн.

Фигура ю. связей в нем. Гра ничные условия и условия сопряжения аналогичны таковым при крутильных колебаниях. Уравнения (1) и (3) поддаются обычно лишь численному приближенному решению. Для определения периодов и форм главных свободных колебаний судна существуют следующие методы: 1) Релея (Rayleigh) [³’ ⁴j; 2) Рида (W. Rietz) [^{s> 6}> ’]; 3) метод последовательных приближений [*> ⁸· ·]; 4) метод Бьерено-Коха (Biereno-Koch) [¹⁰]. Для на хождения вынужденных колебаний судна под действием заданной возмущающей силы можно воспользоваться методом Адамс-Штёрмера,приложение которого к этой задаче было дано акад. А. Н. Крыловым [^п> “].

Отмеченные методы дают достаточные средства для преодоления тех аналитическ. трудностей, которые связаны с нахождением свободных и вынужденных колебаний судна. В менее благоприятных условиях находится вопрос об определении тех величин, которые входят в ур-ия (1)—(3) в качестве коэффициентов. Здесь не выяснено: 1) чему в точности следует считать равным модуль Юнга; 2) все ли продольные связи корпуса в равной мере м. б. зачитываемы в то его сечение, которое сопротивляется изгибу, сжатью и кручению; 3) вся ли нагрузка судна должна в равной мере зачитываться при определении величин q и г, особенно в отношении грузов жидких и сыпучих; 4) какие погрешности проистекают от применения к судну (не-призматич. брусу) основных формул, выведенных для призматич. брусьев. Это особенно относится к нахождению форм и периодов высших тонов, на которые все эти погрешности оказывают обычно более сильное влияние. Для удовлетворительного решения этих вопросов необходима пока еще отсутствующая систематизация планомерно поставленных опытов. При нахождении форм поперечных колебаний высших тонов следует также дополнять ур-ие (1) членами, учитывающими влияние прогиба от сдвигов, а также моментов сил инерции от движения массы, сосредоточенной в каждом сечении судна.

Для грубого определения периода вертикальных колебаний основного тона иногда пользуются эмпирической формулой Шлика:

где Т—период колебания судна в ск.; I— момент инерции площади поперочн. сечения миделя в ж⁴; Р—вес судна в m; L—длина судна в м С—коэфф., равный, по Шлику:

Для очень острых судов (миноносцы). 3 450 000

» пассажирских » .. 3 150 000

» грузовых судов полных очертаний. 2 800 000

О записи вибраций см. Паллографы.

Лит.: *) Lorenz Н., Tectin. ElastizitMslehre, р. 98, Munchen, 1913; ²) В г e d t В,., Krit. Bemer-kungen zur Drehungselastizitat, «Z. d. VDI», 1896, B. 40, p. 813; *) Tobin A., Metbod of Determining the Natural Ship Vibrations, «Trans. Inst, of Naval Architects», L., 1922; ⁴) Pavlenko G. E., A Method of Calculating Ship Vibrations, «Engineering», London, 1926, v. 121, p. 748; ^s) Красноперов E., Применение метода Рида к исследованию свободных колебаний балок, «Изв. Петроградского политехническ. института», П., 1916, т. 25, вып. 1—2; *) Сушенков Б. Л., О вычислении собственных колебаний непризматич. стержней, «Ежегодник Союза морских инженеров», П., 1916, т. 1, (Тимоше н-к о С.П., Теория упругости, ч. II, § 42, СПБ, 1916; *) «Philosophical Magazine», L., 1905—1906; ·) «Jahr-liuch d. Schiffbautechnischen Gesellschaft», B., 1901, B. 2;^l0) В i e r e n o, «Proceedings of the I International Congress for Applied Mechanics», Delft, 1924; ^u) К p ы-ло в A. H., О расчете вибраций корабля, производимых работой его машины, «Ежегодник Союза морских инженеров», П., 1917, т. 2; ^1!) Крылов А. Н., О вычислении вибраций корабля, производимых работой его машины, «Изв. Российской акад. наук», П., 1918, т. 12, ч. I, стр. 915; Н. Johow’s Hilfsbuch f. d. Schiffbau, p. 666—681, 4 Aufl., Berlin, 1920; Hort W., Technische Schwingungslehre, B., 1922; Сушенков Б., К вопросу о вычисл. своб. колебаний судна, «Изв. С.-Петербургского политехи, ин-та», СПБ, 1914, т. 21, в 2, стр. 575. П. Панкович.