> Техника, страница 36 > Геодезическая задача

Геодезическая задача

Геодезическая задача, определение обратного азимута (смотрите) и координат конечной точки по координатам начальной точки, азимуту и длине линии, выходящей из этой точки (прямая геодез!шестая задача), н определение длины, а также прямого и обратного азимутов линии по координатам ее конечных точек (обратная Г. з.). Первая задача: по координатам х₁ и у_г, длине линии Λ и азимуту «—координаты конца линия х_г и у2 выражаются след, образом:

X₂=X₁ + (l COS к И Уг=Уi~l·(1 Sin а.

Вторая задача: по координатам концов линии ajj, у₁ и ж₂, ?/₂—длина Λ и азимут а определяются из формул:

tg « =

Ух-Ух.

X, - Λ·, ’

α=

Ух - Ух _ Sin а

= /(х., - а·,)² ± (у, - у if

Значительно сложнее решение Г. з. для линий и точек на сфероиде; громоздкие ф-лы сфероидич. тригонометрии практически почти не применимы. Нужно указать, что некоторую часть поверхности земного сфероида можно принять за плоскость и Г. з. решать по правилам плоской тригонометрии (смотрите выше); действительно, в круге радиуса ок. 7 км линии и углы на сфероиде настолько мало отличаются от линий и углов, перенесенных на касательную в средней точке сфероида плоскость, что эти разности не улавливаются даже при самых точных измерениях; если величины линий превышают эти размеры, то приходится считаться с геометрическими особенностями сфероида (эллипсоид вращения). Известно, что все геодезич. измерения горизонтальных углов производятся между вертикальными нормальными плоскостями. Это означает, что визирная плоскость из А в В проходит через линию отвеса (нормаль) в точке А и оставляет на поверхности сфероида нек-рый след в виде дуги сфероида; если точка В не находится на одной широте с h, то направление линии тяжести в В будет иное, и плоскость визирования из А в В не будет вмещать линию отвеса В, и, обратно, плоскость визирования из В не будет вмещать линию отвеса в А, а оба эти визирования образуют на поверхности эллипсоида две дуги, не совпадающие между собою, сходящиеся в точках А и В и составляющие некоторый угол. Наибольшее значение этого угла выражается формулой:

^ eoo sin i" ( а ) ’

здесь S—длина линии и а—большая полуось земли (примерно, 6 377 км). Величина этого угла вообще очень незначительна и для линии в 100 км не превосходит 0,1". Большие удобства представляет замена сфе-роидическ. нормального сечения дугой шара радиуса кривизны первого вертикала; соотношение между ними выражается ф-лой:

S — ρ₂α=— — · а³ cos² φ cos² а,

где &—дуга сфероида, а—дуга шара радиуса, равного единице, о_г—радиус кривизны первого вертикала, е—эксцентриситет сфероида, φ—широта, а—азимут. Значит, разность между дугою сфероида и дугою шара выражается малой величиной пятого порядка, наибольшее значение которой будет при φ=0° и «=0°; тогда Δ=—7”-. Если принять большую полуось α= 6 377 км, е=1 : 12, α= "₀, то есть дуге в 1°, соответствующей на земной поверхности, примерно, 112 км, то=0,04 м, или

4 см, что дает относительную разность на 112 км в виде отношения 1 : 3 000 000, вполне удовлетворяющей требованиям самых точных геодезических работ. Если желательно не выходить за пределы точности в 1 :1 000 000, то следует ограничиваться дугами не более 192 км, или, округляя число, 200 км. Практически возможна замена радиуса кривизны первого вертикала средним радиусом кривизны, что вызывает ничтожные поправки в приведенных выше формулах. Во всяком случае линии на земной сфероидичеекой поверхности до 100 км., без ущерба для точности дела, можно трактовать как дуги шара, то есть сфероидич. тр-ки трактовать как сферические, решая их по правилам сферич. тригонометрии; дальнейшее упрощение вычислений основано на теореме Лежандра: если на углы сферического тр-ка распределить эксцесс поровну, то такой тр-к молено решать, как плоский, т. к. вычисленные т. о. стороны будут равняться сторонам данного сферич. тр-ка. Здесь эксцесс вычисляется по ф-ле: ε"=206 265 ·,

где Р—площадь сферическ. тр-ка и R—радиус шара. При вычислении больших линий, свыше 100 км, и при самых точных вычи слениях нельзя сфероидические дуги заменять сферическими, и приходится иметь дело или с нормальными сечениями, что неудобно в виду их двойственности, или с геодезич. линиями. Итак, для решения Г. з. прежде всего следует установить, с какими линиями приходится вести вычисления, и только после этого можно будет искать соответствующее решение; вследствие условности Г. з. предложено много решений ее различными авторами (Бессель, Гаусс, Кларк и друг.); каждое из решений основывается на каком-нибудь допущении.

Способ Бесселя основан на принятии геодезической линии и на перенесении вычислений со сфероида на шар радиуса а (а— большая полуось сфероида). Путем сличения сферического тр-ка со сфероидическим все точки сфероида переносят на сферу радиуса а, так что геодезич. линии обращаются в дуги кругов, широты изображений точек на сфере будут равны приведенным широтам на сфероиде, азимуты геодезич. линий сохраняют свои величины. Остается выяснить соотношения: 1)между длиной геодезич. линии S и длиной соответствующей дуги на шаре 4 и 2) между разностью долгот на сфероиде Я и еоответствующ. углом ω на шаре. Первое соотношение выражается формулой:

dS=a] l — e² cos² и di,

а второе

άλ=j/l — e² cos² и do>;

здесь a—большая полуось, e—эксцентриситет, и—приведенная широта. Эти два дифференциальных ур-ия и служат основными для решения Г. з. по способу Бесселя; решаются они интегрированием и разложением подинтегральных функций в ряд по восходящим степеням величины е. В этих рядах можно ограничиваться различным количеством членов в зависимости от той точности, с которой требуется произвести вычисления в каждом отдельном случае. Значения вспомогательных величин даются в особых таблицах. В СССР находят применение формулы Шрейбера. Военно-топографическ. отделом в 1902 г. изданы «Таблицы для вычисления широт, долгот и азимутов тригонометрических точек на эллипсоиде Бесселя» по ψ-лам Шрейбера. По формулам Шрейбера широты и разность долгот линий до 100 км могут быть получены с точностью до 0,001", а азимуты—с точностью до 0,01", поэтому при пользовании этими ф-лами необходимо применять семизначные логарифмы и производить интерполирование. Нельзя не указать на существование формул Гаусса, по которым широты и азимуты получаются путем последовательных приближений, а разность долгот—непосредственно.

Лит.: Витковский В. В., Практич. геодезия, СПВ, 2 ивд., 1011; Иверонов И. А., Курс высшей геодезии, 2 изд., М., 1926; Иордан В., Руководство высшей геодезии, пор. с нем., М., 1881; Кларк Λ., Геодезии, СПВ, 1890; Ф нлонеико А., Практические руководство для производства триангуляции. Москва, 1927. П. Орлов.