Геометрия

Геометрия, наука о пространстве и о расположенных в нем фигурах и телах. При своем возникновении Г. имела прикладной характер и ставила себе целью измерение и вычисление расстояний, углов, площадей, объёмов и тому подобное. В настоящее время элементарная Г. дает возможность производить такие вычисления для простейших фигур и тел (многогранников, тел вращения), а и а л и-т ич е с ка я и дифференциальная Г.—для более сложных криволинейных образов. Но эти приемы представляют собою результат сложной эволюции. В первую эпоху своего развития на Востоке (Китай, Вавилония, Египет) Г. строилась чисто интуитивно. Это привело к глубоко ошибочным результатам, вследствие чего сделалось необходимым применить к геометрич. исследованию более тонкие логические методы. Это получило осуществление в Греции. При господствовавшей в Греции тенденции к умозрительной науке Г. представила благоприятную почву для тонкой дедукции. У Евклида (3 век до нашей эры) Г. превратилась в выдержанную логическую систему, в этом смысле имеющую самостоятельное значение и свои особенные пути. Свойства пространства и расположенных в нем образов были аксиоматизированы, то есть выбраны были основные положения (аксиомы, или постулаты); все остальные (теоремы) выводились из этих аксиом путем формальной логики с помощью конструкций (проведения вспомогательных линий). Такой метод дедукции, или синтетический, в значительной мере сохранился за Г. и по настоящее время. В основе т. н. элементар ной Г. и теперь лежат «Начала» Евклида. Это сочинение до 19 в неизмененном виде служило даже учебником элементарной Г. Оно было переработано Лежандром, «Начала» которого до сих пор служат типом основного руководства по Г. Хотя в «Началах» Евклида и преобладает логическая обработка Г., но Евклид пользуется и геометрическ. интуицией для рассуждений арифметич. характера (VII ки. «Начал»), а вскоре после него Архимед углубил геометрическ. методы, широко применив их к измерению (метрика), к разысканию ц. т. геометрических тел, к механике, особенно к гидростатике и даже к физике (катоптрика). Г. Евклида и Архимеда, в общем, вполне хватало для разрешения практических задач того времени, и открытие конич. сечений, сделанное, повидимому, Менехмом, было скорее результатом любознательности, чем практич. необходимости. Теория конич. сечений, позже послужившая базой небесной механики, очень занимала древних геометров, и Аполлоний имел уже возможность составить целый трактат, посвященный этим замечательным кривым. Сочинение Аполлония, по существу, содержит уже методы аналитич. Г. Таким образом, современная элементарная Г., со включением коническ. сечений и отдельных более сложных кривых (циссоида, конхоида, спирали и др.),—это тот геометрия, материал, который перешел к нам от классическ. древности. В средние века внимание геометров было сосредоточено на переработке«Начал»Евклнда в смысле уточнения его логич. рассуждений.

С 17 в., с первыми шагами в создании механики, к Г. были предъявлены новые запросы. И у Ферма и у Декарта руководящие идеи аналитической геометрии (смотрите) возникли на почве исследований теоретического характера. Но задачи,поставленные Ньютоном, привели к такому развитью аналитической Г., которое сделало ее основным орудием механики. На долгий период синтетическая Г. уступила место аналитической или, по крайней мере, выдвинула ее на первый план. Но одновременно уже зарождались идеи, которые в разных направлениях раздвигали рамки синтетической Г. Это шло непосредственно от запросов техники. Леонардо да-Винчи, повидимому, первый поставил задачу о точных методах изображения архитектурных сооружений; изобразительные искусства нуждались в теории перспективы; построение машин требовало умения точно их проектировать в целом и в частях. Французский архитектор и инж. Дезарг (Desargues, 1593— 16G2 г.) дал прочные основания для решения этих задач. Выпущенное им в 1636 г. сочинение о центральной проекции легло в основу двух родственных между собой дисциплин—начертательной геометрии (смотрите) и проективной геометрии, возродивших синтетические методы классической Г. В течение 17 и 18 вв. эти дисциплины развивались медленно, но в 19 в они получили очень широкое развитие. Три имени играют здесь решающую роль: Монж, Гаусс и Понсле. Идеи Дезарга, развитые Карно, претворились у Монжа в цельную дисциплину—в теорию графического изображения пространственных объектов па плоскости; начертатель ная Г. Монжа остается по настоящее время основой изобразительной Г., основным методом проектирования в архитектуре и технике. Но и первый систематич. трактат по дифференциальной геометрии (смотрите) принадлежит Мошку; по его схеме и до сих пор строятся элементарные курсы дифференциальной Г. в высших школах—и это с большим запозданием, т. к. Гауссом дано дифференциальной геометрии новое направление, получившее в настоящее время преобладающее значение. Впрочем, проекционные методы Дезарга и Монжа, возникшие, как и элементарная Г., на почве чисто практическ. задач, также получили теоретич. разработку. Понсле, Штейнер и Штаут построили систему синтетической Г., устранив из нее все вопросы метрики (то есть все, что относится к измерению и получает выражение в арифметич. форме—в числах); они создали, т. о., проективную Г., или Г. положения, оперирующую только рядами точек, прямых и плоскостей в их коинцнденции (расположении точек на прямых, прямых— на плоскостях, и тому подобное.) и пересечении. Т. о., сложились четыре основные ветви современной Г.: 1) элементарная синтетическая Г., то есть Г. Евклида, 2) ее непосредственное развитие—высшая синтетическая Г., то есть проективная геометрия с примыкающими к ней дисциплинами (начертательной Г. и теорией перспективы), 3) алгебраическая Г., то есть аналитическая геометрия, оперирующая средствами алгебры, и 4) дифференциальная Г., то есть аналитическая Г., оперирующая средствами исчисления бесконечно малых. Все эти геометрич. дисциплины сделались совершенно необходимым орудием современного естествознания и техники. Первые две ветви Г.—синтетич. Г. в ее различных формах— всегда оперируют непосредственно геометрическими образами путем геометрич. построений, то есть путем соединения различных образов в более сложные фигуры. Другие ветви Г.—аналитическая Г. в различных ее формах—ведут исследование методами алгебры и анализа бесконечно малых, то есть путем производства алгебраических и инфинитезимальных операций. По эти операции делаются над чи, и для производства при их помощи геометрич. исследований необходимо геометрич. образы выразить в числах, то есть в координатах. Каждая система исследования имеет свои преимущества, но и свои большие неудобства. Вследствие этого в последние годы построены новые дисциплины, составляющие синтез обоих методов: они производят те же алгебраические и инфинитезимальные операции непосредственно над геометрическ. объектами. В векторном анализе (смотрите Векторное исчисление) этими объектами служат направленные прямолинейные отрезки—векторы, а в тензорном анализе (смотрите Тензорное исчисление)— более сложные геометрическ. объекты.

В 19 в расширениематематич. методов потребовало углубленного изучения их основ. В связи с этим возникли и теоретич. вопросы, связанные с логич. обоснованием Г. Относящиеся сюда исследования привели, с одной стороны, можно сказать, к совершенной системе синтетическ. геометрии, а с другой стороны—к новым воззрениям на сущность и значение геометрических аксиом. Толчком к этому послужило сделанное Лобачевским открытие н e е в к л и д о в о и Г. (1826 г.). Среди аксиом Евклида особое внимание математиков привлекала аксиома о параллельных линиях (ее можно формулировать так: через данную точку к данной прямой на плоскости можно провести одну, и только одну, прямую, ее не встречающую). Это обусловливалось тем, что аксиома о параллельных казалась менее очевидной, чем остальные. Было предпринято много безуспешных попыток доказать ее, основываясь на остальных аксиомах. Между тем, если откинуть из планиметрии аксиому о параллельных линиях и все те теоремы, доказательство которых на этой аксиоме основано, и взять вместо нее другую (например: к данной прямой через одну точку можно в определяемой ими плоскости провести больше одной прямой, не пересекающей данной), то получится все же совершенно стройная система Г., во многом существенно отличающаяся от евклидовой. Примером такого отличия может служить теорема о сумме углов ιρ-ка: в Г. Евклида эта сумма равна 2d, в Г. Лобачевского она меньше 2d. Существование наряду с евклидовой Г. логически стройной неевклидовой Г. показало, что евклидова аксиома о параллельных является независимой аксиомой, то есть не м. б. логически выведена из других аксиом евклидовой Г., и поэтому попытки ее доказательства неизбежно обречены на неудачу. Позднее были построены и многообразные др. геометрические системы. Т. о., система аксиом, определяющих е в к л и д о-в у Г., не является единственно возможной. Выводы, вытекающие отсюда относительно происхождения и значения аксиом, принадлежат уже к области философии и гл. обр. теории познания. Изучение аксиом, лежащих в основе той или другой Г., их непротиворечивости и независимости называется аксиоматикой, или основаниями Г. Эта часть геометрии создана и развилась за последние 50 лет. Особого внимания заслуживают свойства пространства, выражен, аксиомами, не связанными с измерением. Эти свойства и аксиомы являются общими для евклидовой и неевклидовой Г. Примером может служить аксиома: через каждые 2 точки проходит единственная прямая. Эти аксиомы и лежат в основе Г., не зависящей от измерения—п р о е к т и в и о и Г. Таким образом Г. играет в современной науке чрезвычайно важную роль как с точки зрения практических ее приложений, так и с точки зрения теоретических идей, которые она с собою принесла.

Лит.: Осноппым сочинением по элементарной синтетической Г. является книга R о u с h 6 E. et С о ш 1) е г о и s s e Ch., Trait6 de g0om6tric, 7 6d., Paris, 1901; оснопные теоретнч. сочинения: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., И., 1923; Каган В. Ф., Основания геометрии, т. 1, 2, Одесса, 1905; Б о н о л а Р., Неевклидова геометрия, Критнко-истор. исследоп. се развитии, пер. с итал., СПБ, 1910; Klein F., Vorlesungen fiber nichteukli-disebe Geometric, В., 1928. Ю. Рожанская.