Гидродинамика

Гидродинамика, часть механики, изучающая явления движения жидкости под действием сил. Простейшие опыты показывают, что в жидкости, находящейся в дви жении, могут существовать касатель-н ы е усилия, обусловленные, с одной стороны, вязкостью (смотрите), действующей между смежными элементами жидкости, с другой— смачиванием (смотрите), действующим между элементами жидкости и элементами твердого тела и направленным по касательным к поверхностям раздела. Однако, во многих случаях этими явлениями движущейся жидкости можно пренебрегать и ограничиться изучением движения идеальной жидкости, в которой все напряжения сводятся к нормальным давлениям (смотрите Гидростатика).

Для аналитического описания движения жидкости существуют два способа: Эйлера и Лагранжа. Наиболее употребительный способ, Эйлера, состоит в том, что даются компоненты скорости жидкости и, V, го по осям координат в функциях координат х, у, г и времени t, то есть и{х, у, z, t), v(x, у, z, t). w (x, у, z, t). Давая t какое-нибудь произвольное постоянное значение, мы будем знать, какова в рассматриваемый момент t скорость жидкости в различных геометрпч. точках, соответствующих различным значениям х, у, z. Обратно, давая координатам

x, у, z какие-нибудь произвольные постоянные значения и меняя t, мы будем знать, как в рассматриваемой геометрпч. точке с координатами х, у, z меняется скорость с течением времени. Т. о. и, v, w являются функциями 4 независимых переменных х,

y, z, <; если они не зависят от t, то движение называется установившимся. Чтобы найти траекторию какой-нибудь жидкой частицы, достаточно проинтегрировать систему совместных дифференциальных ур-пй:

= w;

(1)

интегралы будут иметь вид:

ж=/·,((, а, Ь, с) у=f, (t, a, b, с);

z=fa(t, «, Ь, с), (2)

где а, Ь, с—произвольные постоянные; их можно определить, выбирая для данного момента t какую-нибудь определенную частицу жидкости. Если для какого-нибудь момента t мы проведем в жидкости линию, касательная в каждой точке которой направлена по скорости жидкости в этой точке, то такая линия называется линией тока. Дифференциальные ур-ия линий тока будут: dx dy dz

и(х, у, г, t) υ(χ, ν, 2, i) ~ w(x, y, z, t) ’

где t—произвольный, но постоянный параметр. В векторной форме, если г есть радиус вектор, a q—вектор скорости жидкой частицы, уравнения траектории и линии тока будут соответственно:

а?-«; (3)

[drq]=0. (3")

Очевидно, что в установившемся движении траектории и линии тока совпадают между собой. Обозначая проекции внешних сил F (кроме гидродинамич. давления) на координатные оси через X, Y, Z, гидродинамич. давление—через р, а плотность жидкости— через о, будем иметь:

dx Эр

**р-*^х“ж

, ^dv _ „ v

ду др dz

или, в векторной форме:

9^.=0Y-

d*z г

(4)

d*r _n

Q ,u-.=V^F - YP’

(4)

к _ύζ и i, j, к—единич ен·

где г — i " + j "

^v Ox Оу ные векторы, взятые вдоль осей координат. Разделив ур-ия (4) на (> и вставив в них вместо ~, ^₍^!, -j₍²£ их значения, полученные из вторичного дифференцирования уравнения (1) по отношению к I, получим ур-ия движения жидкости:

(5)

или, в векторной форме:

di+ a V<7²-[«-rotg]=.F- J

К ур-ия.м (5) надо прибавить еще уравнение, выражающее неизменяемость элементарной массы жидкости:

ди

ди _

Эр )

дх

~0у

ui -

дх

dv д t

до дх

до ду

до

Y-

дт> { ду t

fhv

д о

dvt _

др I

дх

ду

z —

dz j

VP- (δ)

Эр Э(9К), 3(р»). 3(pw)

di Οχ ¹ Оу или,в векторной форме:

= 0,

-bv(e. ϊ)=ο,

(6)

и ур-ие, устанавливающее связь между р и р на основании физических свойств жидкости: р =/(<)· Этих пяти ур-ий достаточно для определения пяти функций и, v, w, р, ρ от четырех независимых переменных х, у, z, I. Если жидкость несжимаемая, то р=Const, и ур-ие (6) принимает вид:

ди dv. chv_^

дх ~ι~ ду ~т~ dz —

(7)

или

V <1=0. (7)

Ур-ий (5) и (7) достаточно для определения четырех функций и, v, w, р. Чтобы задача решения уравнений Г. имела смысл, необходимо дать граничные условия, которым должны удовлетворять интегралы; все разнообразие задач получается от видоизменения этих граничных условий. Если движение установившееся и силы имеют силовую функцию U, т. e.×=,

лг ди г, ди „ „

Y — -щ> Z=--, или F=у L, то вдоль ка-

ж д о и л и н ии тока уравнения (5) дают соотношение:

= Const + U - I (и°- + v* + w*), (8)

ИЛИ

J^=Const + u— q*·, (80

для постоянного ρ левая часть равна ^р-. Это знаменитый интеграл Бернулли, имеющий громадные приложения в гидравлике.

Лагранж указал весьма важный частный случай движения жидкости, когда существует такая функция <р(х, у, z, t), что и — —

дх до _ до ду ’ ¹¹ ~ dz

(9)

или

q=— φ

(90

функция ψ называется потенциалом скоростей. Если силы имеют силовую функцию U и существует потенциал скоростей ψ, то уравнения (5) допускают интеграл Лагранжа:

/?-&+*“

-не)^,+®)^,+йл+^· ^(1о>

или

Т ⁼ 8 + “ - 2 (W)² + Ш <¹⁰)

где F(t)—произвольная функция. Если (> постоянно, то левая часть ур-ия (10) обращается в ; в этом случае из ф-л (7) и (9) для определения φ получим ур-ие Лапласа:

Δ_2? =

3*φ. Э*у. ду _ Эм ⁺ ду- ⁺ dz^{5 —}

(И)

Т. о., в этом случае задача приводится к определению только одной функции φ из ур-ия (11) при данных в каждой задаче граничных условиях; зная φ, по ф-лам (9) и (10) найдем и, v, w, р. Если движение жидкости таково, что оно тождественно во всех параллельных между собою плоскостях, то движение называется плоским; очевидно, что в этом случае достаточно знать движение жидкости в какой-нибудь одной из параллельных плоскостей. Особенно важен случай установившегося плоского движения с потенциалом скоростей φ(χ,ρ). Из формулы (3) для этого движения v(x, у) clx — и(х, у) dy — 0

следует, при условиях (9) и (11), что существует такая функция ψ (х, у), называемая ф у н к п ней тока, что ψ (х, у) — Const есть интеграл уравнения vdx— udy =0, то есть у(х, у) — Const есть ур-ие линий тока. Отсюда получается:

Зэ

3Ψ

дУ

то есть φ+ixp есть функция комплексного переменного х+гу (смотрите Аэродинамика теоретически я). Т. о., задаваясь функцией комплексного переменного x+iy и разделяя в ней действительную и мнимую часть, мы находим φ и ψ, то есть получаем нек-рое движение жидкости. Возможность пользоваться в задаче о плоском движении теорией функций комплексного переменного оказалась исключительно плодотворной, и все наиболее крупные успехи в Г. связаны с этим обстоятельством.

Вопрос об источниках давления жидкости на двигающиеся в ней тела представляет особый интерес. Если тело полностью непрерывно обтекается жидкостью, причем движение жидкости совершается с одно з н а ч н ы м потенциалом скоростей, то можно вычислить кинетическ. энергию жидкости в функции компонентов поступательной и угловой скорости тела и отсюда составить дифференциальные уравнения движения тела в жидкости; разыскание и изучение интегралов этих уравнений составляет одну из трудных, но интересных проблем Г. Кирхгоф показал, что для каждого тела существуют три взаимно перпендикулярных направления, вдоль которых возможно прямолинейное и равномерное движение тела в жидкости без действия каких-либо сил, кроме начального импульса. При равномерном прямолинейном движении в других направлениях совокупность сил давления па элементы поверхности тела может давать пару сил, но результирующая этих элементарных давлений опять будет равна нулю. Т. о., идеальная жидкость, обтекающая вышеуказанным образом тело, двигающееся в ней прямолинейно и равномерно, не оказывает телу никакого сопротивления;это свойство идеальных жидкостей получило название «парадокса д ’Аламбера» или «парадокса Эйлера». Однако, повседневный опыт показывает обратное: жидкость всегда оказывает движущимся в ней телам сопротивление, к-рое быстро возрастает с возрастанием скорости тела. Разрешение противоречия лежит в том, что реальное движение жидкости отличается от описанного выше. Одним из источников давления является прерывность течения жидкости. Точные математические методы изучения прерыви. потоков существуют лишь для плосконараллельно-го движения. Гельмгольц первый начал ими заниматься. Теория таких движений вблизи простейших прямолинейных стенок была дана Кирхгофом [*]. Метод Кирхгофа был распространен на более сложные прямолинейные стенки Η. Е. Жуковским [²J. Изучение плоскопараллельных установившихся потоков составляет самую существенную часть теории воздухоплавания.

Волнообразн. движение жидкости рассматривается в Г. в трех направлениях: поперечные волны на поверхности тяжелой жидкости (обычные волны на поверхности воды); приливные волны, которые характеризуются тем, что их длина громадна по сравнению с глубиной жидкости; продольные полны (звуковые волны в воздухе). Вследствие большой математич. трудности почти все решения задачи о волнообразном движении жидкости имеют приближенный характер. Точная теория поверхностных волн с потенциалом скоростей дама лишь в 1922 г., независимо, различны ми методами, Леви-Чивита и Λ. И. Некрасовым [*]; точная теория волн па поверхности раздела двух разнородных жидкостей дана Н. Кочиным |⁴|. В жидкости возможны еще в о л н ы р а з р ы в а, то есть движения поверхностей, разделяющих два различных кинематических состояния жидкости. Первый это отметил Риман. Теорию дали Гюго-пио [⁵] и Гадамар [^в].

Ур-ия движения вязкой жидкости впервые были получены Навье (Navier). Эти ур-ия имеют вид:

Здесь

<{ Г

dt <1 w

= z -

+ vA₂?f, + гАп;, + гАле.

д. д

~гт -f- It dt ‘ дх

0^г

+ V

а“

ου

^{+ W}Tz

^1 я,.1 + ,ι,ι ~Ь И

дх‘ ду^г О

где μ—коэффициент вязкости. В векторной форме уравнение Навье может быть представлено в виде:

Tjf + I <Г - [<1 rotq]=F- * VP + ’’V/· Действие вязкости состоит в том, чтобы ту

шить возникшее движение; при этом происходит потеря механич. энергии. Изучение движения вязкой жидкости представляет весьма большие математич. трудности. Упростив ур-ия, можно было решить некоторое количество задач, однако, как это показа: в последнее время Озим (Oseen), не всегда такие упрощения дают верные решения. Интересное применение теории движения вязкой жидкости дано Π. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным [⁷].

Лит.: Анне л ь П., Руководство теоретической (рациональной) механики, т. 3, М., 1911: L a m Ь II., Hydrodynamics, Cambridge, 1924 (наиболее полный курс с большим числом библиографическ. указаний); С i so t t i U., Idromeccanica plana, v. 1. 2, Milano, 1921—22; Basset A., Treatise on Hydrodynamics, v. 1. 2, I,. 1888; Wien W. Lehrbuch d. Ilydro-dynamik, Leipzig, 1900; О s e e и C. W. Neuere Me-thoden nnd Krgebnisse in der llydrodynamik. Leipzig, 1927—28; ) Kirchhoff G., Vorlesnngen iiber

mathem. Physik, В. 1—Mechanik. Кар. XXI, XXII, Lpz., 1897; ) Ж у ко веки и И. К. Видоизменение метода Кирхгофа, -Математич. сборник», М., 1890, т. 15, стр. 121;’) L e v i-C i v i t а а. N c k r a s s о Г Г A., «Proceedings of the First International Congress for Applied Mechanics», Delft, 1924. Glasgow, 1925; ‘) Kotschin N., «Mathematische Annalen“, B., 1927; ⁴) II u g ο n 1 о t H., Propagation du mouve-rnent dans les corps, «Journal do I’ecole polytechni-gue», P., 1887, t. 39, cahier 57; ·) II a d a m a r d J. Le?ons sur la propagation des ondes et les equations de Fhydrodynamique, P., 1903; ’) Ж у it о в О к и it Η. E. и Ч а и л ы r n и С. А., О трении смазочного слоя между шипом и подшипником, «Труды Отд. физ. наук OG-na любит, естествознании», М., 1906, т. 13, иым. 1 («Пап. О-ва любит, естествозн., антропологии и этнографии“, т. 112, вьш. 1). А. Некрасов.