> Техника, страница 39 > Градиент
Градиент
Градиент какой-либо скалярной функции <р, вектор, определяющий в каждой точке величину и направление наибольшего возрастания этой функции при перемещении на единицу длины. Обозначение: grad ψ, или у Ψ- Если провести в пространстве поверхности уровня, соответствующие постоянным значениям <р, возрастающим в арифметической прогрессии, то grad φ будет в каждой точке направлен но нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку, и приблизительно обратно пропорционален расстоянию от данной точки до соседней поверхности уровня. Вектор у φ равен по величине производной φ в направлении нормали к поверхности уровня. Зная у φ в данной точке, получают значение производной от ψ в любом направлении как проекцию у Ψ на это направление (смотрите Векторное исчисление).
Г. весьма часто встречается в физике. Так, например, при установившемся режиме вектор плотности теплового потока q (количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермич. поверхности) пропорционален Г. темп-ры У, то есть q=— k grad 0·. В электростатич. поле вектор напряженности поля F равен отрицательному Г. потенциальной функции φ, F=— у φ. В жидкости гидростатическ. сила F, действующая на единицу объёма, равна отрицательному градиенту давления р, то есть F— — у р. Во всех этих случаях линейный интеграл вектора у ψ вдоль какого-либо пути не зависит от этого пути и равен разности значений φ в предел!.пых точках:
в
S fir V <Р=<Рв~<Ра ·
А
Интеграл χψ вдоль замкнутой кривой (циркуляция) всегда равен нулю: ψ>(1τχφ=0,
если только функция φ однозначна в области интегрирования или если кривая интегрирования окаймляет такую поверх ность, на всех точках которой ψ сохраняет конечное значение. Так, например, прямолинейный цилиндрический проводник, через к-рый проходит ток в 1 ампер, создает в окружающем пространстве магнитное поле, вектор напряженности которого
Н=/п V Ψ А/с.м,
где φ—угол, составляемый меридианной плоскостью, проходящей через ось проводника, с произвольно выбранной начальной меридианной плоскостью. Линейный интеграл вектора II вдоль линии, охватывающей проводник, то есть напряжение обхода вдоль этой линии, отличается от нуля:
f Hdr=r dry φ=Ι.
Здесь ф-ия φ многозначна, а вектор у φ становится бесконечно большим па оси. В прямоугольных координатах у φ имеет выражение. до. до, до
= * TX+J 0V ^ktz·
Лат.: Э и х е и в а л ь д А. А., Теоретическая физика, ч. I, Теория поля. Москва—Ленинград, 1926; III п и л ь р e ii н Я. И., Векторное исчисление, М.— Л., 1925. Я. Шпильрейн.