> Техника, страница 41 > Гюльдена формулы

Гюльдена формулы

Гюльдена формулы, ф-лм для определения поверхностей и объёмов тел вращения. Г. ф. выражают собою содержание следующих двух теорем.

1. Величина поверхности S, образованной вращением какой-либо плоской кривой около оси, лежащей с ней в одной плоскости и ее не пересекающей, равна произведению длины L этой образующей линии на длину дуги, пройденной ее центром тяжести. Обозначая через х₀ расстояние центра тяжести образующей линии до оси вращения, получим для всей поверхности тела вращения: S=2Tc.r₀L; для части же поверхности, соответствующей угловому перемещению и,меньшему 2л, S=ax₀L.

2. Величина объёма Г, образованного вращением какой-либо плоской фигуры около оси, лежащей с ней в одной плоскости и ее не пересекающей, равна произведению образующей площади F данной фигуры на длину дуги, пройденной ее центром тяжести.

Обозначая и в этом случае через х₀ расстояние ц. т. образующей площади до оси вращения, получим для всего объёма тела вращения: V=‘lnx_aF; для части объёма, соответствующей угловому перемещению а, меньшему 2л, V=ax₀F. Если ось вращения пересекает площадь данной фигуры, то вышеуказанная формула определит разность объёмов двух тел вращения, описываемых площадями частей фигуры, лежащими поту и другую сторону от оси вращения. Если вообще меридиональная линия дана уравнением у —Да:), ось Ох есть ось вращения, S—часть поверхности тела вращения, заключенная между двумя плоскостями, проведенными на расстоянии г, и х₂ от начала координат нормально к оси х-ов, и V—объём, заключенный между теми же плоскостями и поверхностью тела вращения, то

S=2 л J у dl; V=π J у² <1х,

*1 *.

где dl — у dx¹ + dy²—дифференциал длины дуги меридиональной кривой.

Вышеприведенные Г. ф. могут быть применяемы и вообще к какому угодно движению ц. т., лишь бы площадь фигуры была всегда перпендикулярна к направлению движения, например, при образовании различных трубчатых поверхностей и объёмов. Две теоремы, лежащие в основе формул Гюль-дена, изложены Гюльденом (Guldin, 1577— 1033гг.) в его трудах: De centro gravitatis» и «Centrobaryca», но еще раньше эта же идея об определении поверхностей и объёмов тел вращения встречается у греческого математика Паппуса (Pappus, Collectiones mathematicae, lib. VII). а. яшков.