> Техника, страница 42 > Диадное исчисление

Диадное исчисление

Диадн0е исчисление, аффинор-н ое исчисление, метод непосредственного вычисления над диадами, или аффинорами,без разложения их на составляющие по координатным осям. Гиббс предложил выносить за скобку вектор А, встречающийся в сумме произведений вида Ат ·ιιΤ, например: Ат · т + Ап · п + А р · р=А (т · т’ + + п · п + р · !>). (1)

Выражение, заключенное в скобки, не имеет смысла в обычном векторном исчислении. Можно, однако, ввести новую геометрическ. величину—аффинор (или диаду):

Ф — т · т -)- п · » + р · р. (2)

Для обозначения аффиноров применяют обычно прописные греческ. буквы. Аффинор Ф является суммой трех л и н е и н ы х д и ад, или д и а д н ы х произведений, называемых также неопределенными произведениями. Жирная точка получает т. о. значение знака диадного умножения. В каждой диаде различают три первых вектора, стоящих слева от знаков диадного умножения, и три вторых множителя, стоящих справа от знаков диадного умножения. Каждый аффинор Ф обладает тем свойством, что его скалярное произведение на любой нос л е д у ю щ и и вектор А образуется путем умножения всех вторых множителей на этот вектор А, а скалярное произведение вектора А на последующий аффинор Ф образуется путем умножения всех первых множителей аффинора на вектор А:

ФА=т · тА + п · пА + Р · Р’А,

АФ=Ат · vi + Ап · п + Ар · р. Аффинор, у которого первые и вторые множители поменялись местами, называется аффинором, с о п р я ж е н н ы м данному:

Ф_с=т · i и -f η · η + р · р ; (3)

ФА=А Ф_с ; А Ф=Ф, А. (4)

Если аффинор равен своему сопряженному, то он называется симметри ч н ы м аффинором, или тензором. (В некоторых случаях слово тензор имеет более общее значе ние. См. Тензорное исчисление.) Умножение аффинора Ф на радиус-вектор г создает аффинное преобразование пространства, при котором все параллельные прямые остаются после преобразования тоже параллельными прямыми. В самом деле, если конец вектора г описывает прямую г A+/.U. параллельную M, то конец преобразованного вектора ν=Фг=ФА + λΦΚ

описывает прямую, параллельную ФВ, направление которой зависит от направления н. Каждый аффинор можно разложить на симметричную и антиметричную части:

Ф - I (Ф + Ф,)+ ‘ (Ф-Ф,·)·

Симметричная часть не меняется при перестановке первых и вторых множителей и называется часто тензором данного аффинора

Т=ts Ф=I (Ф + Ф,.). (5)

Антиметричная часть меняет знак при перестановке первых и вторых множителей и называется часто аксиатором данного аффинора в=ах Ф=‘ (Ф - Ф_г). (6)

Каждый тензор имеет три главных направления, взаимно перпендикулярных. Если взять единичные векторы <_1; i., i₃, параллельные этим направлениям, то тензор Т может быть выражен в виде

I=Ριϊι * I1 4“ Ρ%ΐ2 " 1*2 "Ь Рз‘^3 * *з СО Если р₁=р₂=р₃=1, то получается единичный тензор

1=ij · i, -f io. i_s + i₃ · i₃.

Значение 1 не зависит от выбора направлений трех взаимно перпендикулярных векторов, в частности

1=г · i + j · j + Те · 1с.

Для любого вектора А справедливо соотношение 1А=А1. Если е, е₂, е₃—некомпланарные векторы, а е¹, е-, е³ обрати ы е им векторы (смотрите Векторное исчисление), то I — е, · е¹ + е_г · е² е₃ · е³.

Для уяснения геометрического значения аксиатора вычисляют:

ах Ф=I т · тА — * ш · ш А +. =

[mm д] +.=[{ ‘ [mm] + ‘ [пп] +

+ [РР] АJ ·

Вектор

V={[mm] + [пп] -)- [рр] } (8

называется вектором аксиатора; он равен половине суммы векторных произведений вторых множителей аффинора на соответствующие первые множители. Вектор г позволяет изображать аксиатор при помощи подстрочной скобки:

V=ах Ф, v_c=—V. (9)

Таким образом,

vA=[vA] — — А V, (10)

но вместе с тем [vA]=vA, где А есть другой аксиатор, вектор которого равен А. Для полного определения тензора необходимо 6 численных указаний (3 для определения направления осей и 3 постоянных р, р._г, р₃). Для полного определения аксиатора необходимы 3 численные указания, дающие величину и направление вектора этого аксиатора.

Умно ж е н и е (скалярное) линейных диад производится т. о., что второй множитель первой диады множится на первый множитель второй диады:

(ιа · ft) (да · п)=о · ft да · п=а · п (bт). (11) Умножение полных диад, или аффиноров, производится т. о., что каждая линейная диада первого аффинора множится на каждую линейную диаду второго аффинора. Из двойного векторного произведения [[vm] п]=vmn — vn · да — v · пт

следует: т η	— η · да — «да.	(12)
В частности, кк=к · к	_ i=— (i. i + j. ./),	(13)
	к к к	(13)

Умножение на /.· представляет в плоскости

I,.) нек-рую аналогию с умножением на |/—1.

Приме р ы. 1) Момент инерции тела относительно оси, параллельной единичному вектору с и проходящей через начало, равен

2 I¹,· [СГ,·]²=— 2 f i ^cri^ri^c=С Тс,

где

Т — — 2 fi ^ri^r; (14)

тензор инерции тела, г,·—радиус-вектор и μ,—масса материальной точки Р, тела. Если тело вращается вокруг начала с угловой скоростью со, то кинетическ. момент вращения получает выражение и=2 г - 2 ^μ*‘‘У!}^{ω= Τω}·

Эти выражения позволяют легко вывести уравнение Эйлера движения твердого тела вокруг постоянной точки

Τ~+ωΤω=Μ, (15)

где М—момент внешних сил относительно начала.

2) li деформированном теле возникают напряжения, характеризуемые тензором напряжений:

П=ffjij · i_y + σ₂«,₂. i₂ + σ₃ί₃. i_z. (16) Сила упругости, действующая на площадку dS — n dS внутри тела, равна тогда

Р=IIn dS=П (IS. (17)

3) В электрическом поле существует в каждой точке вектор напряженности поля E V/см и вектор смещения D С/см-. Действие этого поля на материальные тела м. б. охарактеризовано при помощи фиктивного тензора напряжений

II=I (Е · I) + I) - E - ЕТ>) J см

4) Аффинор

П — оэ г=I + 2 „7 (*?>)”=ехр кхр =

η — 1

= к к — к к COS φ+ к sin φ

называется в е р з о р о м. Этот аффинор вра щает на угол φ всякий вектор, перпендикулярный к,и оставляет без изменения вектор, параллельный к.

Аффинором обрати ы м данному

Ф=а · да, -f- ft · и + с · р (18)

называется аффинор, составленный из соответствующих обратных векторов:

0~¹=да/. а + n · ft + р · с. (19)

Так как дадα= 1, а дан=nip 0 и т. и., то фф-1=ф-1ф=7. (20)

При умножении любого аффинора Ф на вектор г получается л и н ейна я вектор-функция, обладающая характерным свойством линейных ф-ий, а именно:

Ф (да п)=0да + Фп,

Ф (ада) - а Фт.

Соотношение г=Фг м.б. записано в координатах. Если с,е₂, е,— единичные векторы, параллельные осям координат О х_л х, х, то г’=хе_у + xie₂ + x₃e_z=(aⁿX_y + а^,гх₂ -f + aPr_z) e, + (a²¹x_l + а--х₂ + а^гзх₃)е₂ +

+ (a³¹£j + a³ⁱx₂ + а“*х₃) с,

или

r--Χχ β_λ=α^χ_μβ_λ,

где правая часть суммируется по индексам А, μ. из которых каждый может иметь значения 1,2, 3. Аффинор Ф м. б. выражен в координатах как сумма 9 линейных диад: Ф — аМ е_х · е_/2 (21)

где правая часть суммируется по индексу А и по .индексу μ, из которых каждый может цметьзначения 1,2, 3. Т.о. для определения аффинора необходимо знание 9 чисел а¹/“. При вращении координатных векторов е изменяются значения определяющих чисел а^;е, но некоторые комбинации из этих чисел имеют абсолютное геометрическое значение и остаются инвариантными. К числу таких инвариантов аффинора (18) принадлежат: первый скаляр

5,0=«да + hn + ср, (22)

второй скаляр

S₂0=abm/n + bспр + гарт, (23)

третий скаляр

5₃0=<(bс тпр. (24)

Пространственные производные от аффиноров определяются таким же образом, как в векторном исчислении. Так, например:

г · А=lifn ¹ Ф dS · А (набла-аффипор), (25)

т«0 ¹ и

χΦ=lim ¹ Ф dS Φ=tr 0 (трактор от 0), (26)

r=0 ^т «

χΦ=lim ¹ Φ dS Φ=vtx 0 (вортекс от 0). (27)

— τ=0 ^т α

Легко видеть, что

X · r= I, _vr=-21. (28)

Пользование Д. и. чрезвычайно упрощает сложные расчеты, связанные с исследовани-

ем упругих деформаций, механики твердого тела, гидродинамики, аэродинамики, электродинамики,кристаллическ. оптики. Во всех этих случаях применение Д. и. не только сокращает вычисления, но и дает гораздо бо-лее глубокое представление о физической зависимости между отдельными величинами, встречающимися при изучении векторных и тензорных полей. Только пользование Д. и. дает возможность полностью овладеть методом векторных преобразований. Правда, за последнее время получило большое распространение инвариантное исчисление, применяемое непосредственно к координатам векторов и аффиноров, но для практических целей пользование методом Д. и. чрезвычайно удобно, так что изучение этого метода вполне окупается той пользой, которая нолучаетря от его применения.

Лит.: Gibb s-W i 1 s о η, Vector Analysis, New Haven, 1913; В u r a 1 i-F о r t i C. e Marcolongo It., Omografie Vettoriali, Torino. 1909; В n (1 d e E. Tensoren und Dyadcn iin dreidimensionalen Rauin. Brschw., 1914; Burali -Forti C. e t Marco-long о R., Analyse veotorielle gfinirale, 1. 1—Transformations linCaires, Paris, 1912; Sc li on ten J. A., Grundlagcn d. Vektor-u. Affinoranalysis, Lpz., 1914; J a u in a η n G., Grundlagen d. Bewcgungslchre von einem moderncn Standpunkte aus dargestellt, Lpz., 1905; Rnnge C., VcKtoranalysis, В. 1, Lpz. 1919; Schout e n J. A., I)er Ricci-Kalkiil. Eine Einfiih-rung in die neueren Methoden u. Probleme <1. melir-diinensionalon Differenzialgeometrie, Berlin, 1924: Ignat о w s k у W., Die Vektoranalysis u. ihre An-wendnng in d. theoretischen Pbyslk. T. 1—2, Lpz.— B. 192G; Sp ie.lrei n .1. Lehrbuch d. Vektor-rechnung, 2 Anfl., Stg., 1926. Я. Шпвльрейн.