> Техника, страница 49 > Инварианты

Инварианты

Инварианты, в теории форм, такая функция коэффициентов формы, которая, будучи умножена на модуль данного линейного преобразования, равна аналогичной функции коэффициентов преобразованной формы (смотрите Алгебраическая форма). Линейное преобразование формы f(x_x, ж₂, ., ж_и), содержащей п переменных х_х, ж₂, ., ж„, состоит в замене этих переменных выражениями вида:

х_х=af) ж₁ + ар) ж₂ +. + а,р) х_пж₂=ар) х₁ + ар) х_г +. + а,!²) ж«

х_п=а^п) х_г + ар¹) ж₂ +. + а!^п)ж_п

где х_х, ж₂, ., х_п—новые переменные. Ф-ия Ψ (ж_г, ж₂,., ж„), получившаяся в результате подстановки выражений (1) в данную функцию /, называется преобразованной функцией, а определитель

		а“1),.	а(1) • > Un
	а<2>,	а(2.	а(2) • ? Un
	а?		Ап) • ? Щг

составленный из коэффициентов выражений (1), называется модулем преобразования. Если А_х, А₂,., JL_re+_j—коэфф-ты членов данной формы f, а А_х, А_г, ., А_п+1—лсоэфф-ты преобразованной формы ψ, то возможно образовать такую ф-ию I от А_х, А₂, ., А_п+1, называемую И. данной формы f, к-рая, будучи умножена на модуль преобразования в некоторой степени, будет равна такой же ф-ии от Ij, i;. Α_η+ι, так что

1{А_Х, Л₂, ., А_п+г) · Ώ^λ =

— I(A_X, A_s, ., Α_η+ι). (3)

Так, например, для квадратичной формы с двумя переменными А_хх_х + ЧА₂х_хх_г + А₃х имеем формулы линейного преобразования: ж₁=а[^г) х_г + а⁽2^г) х₂ ;

^Х2=«j^{0 Х}х + ^а2^{2) х}г

Подставляя эти значения х_х и ж₃ в данную ф-ию, получаем преобразованную ф-ию:

Ψ =Л₁(а<¹⁾ж₁ + а<¹⁾ж₂)² +

+ 2А₂ (af) х₁ + а[^1} ж₂) (а<²⁾ ж, + а⁽²⁾ xj +

где

+ А₃ (а[²⁾ ж₁ + а^²⁾ ж₂)²== А_х ж² + 2А₂ ж₁ ж₂ + А₃ ж²,

Л₁=А₁ а<*>² + 2А₂ а<²> + Л₃ а²⁾,

1₂=А_г а[^1} а“^х) + А₂ {а[^1} а⁽²⁾ + а[^г))

+ А,а^а^,

,(1)²

Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае имеет место следующее равенство:

(A₁A_S-Al) Ώ²=Α,~Α₃-Α,

где

aW.aW

α<²>, α*²⁾

так что А_г А₃ — А₂ есть И. рассматриваемой квадратичной формы. И. последних типов встречаются в аналитической геометрии.

В теории группИ. группы преобразований называется такая ф-ия координат х{^1>

и ж^²),двух каких-либо точек многообразия п-το измерения М_п, которая при всех ^преобразованиях, принадлежащих к данной группе, сохраняет свой вид.

Пусть имеем п переменных х_х, ж₂, ж₃, ., ж„, могущих принимать всевозможные значения от +оо до —оо. Совокупность М_пвсех значений этих переменных называется многообразием я-го измерения. Совокупность каких-нибудь определенных значений этих переменных ж¹), ж^¹),., ж^¹) называется точкой или эле-ментом многообразия, а отдельные значения этих величин называются координатами этой точки. Если переменные х_х, ж₂,., х_п связаны определенным образом с переменными х_х, ж₂, .₁₂ х_п другого многообразия я-го измерения М_п, то говорят, что одно многообразие переходит в другое при помощи преобразования координат или при помощи точечного преобразования, причем обычно требуется еще, чтобы каждая точка одного многообразия переходила в^одну и только в одну точку другого многообразия, и обратно. Наиболее простым точечным преобразованием является преобразование, при к-ром координаты преобразованного многообразия М_п являются линейными ф-иями преобразуемого многообразия М_п, то есть при котором имеют место следующие равенства:

П

Хг=а_{+ 2 а⁽)ж_г; (г=1, 2,3,., п). (4)

1=1

Условием того, чтобы каждая точка М_п пере-

ходила в одну—и только в одну—точку М_п, служит неравенство:

		а™,.	„(1) • j Мп
а<2>,	«12)>	а<2>,.	·,ώ2)	Ф 0,	(δ)
	«(2П)	а<п),.	,а<пп)

где левая часть есть определитель (смотрите), составленный из коэффициентов а^К Преобразование, выраженное формулами (4), носит название аффинного преобразования. Если, кроме того, п² коэффициентов «⁽{^г) связаны между собой соотношениями

23 ^а<г¹ «f=<5; Г, в - 1,2, 3,. я, (6)

г=1

при чем <5*4=+ 1 при г=s и <5⁽r^s>=0 при r=f=s, то преобразование называется аффинным ортогональным преобразованием. Так, для случая трехмерного многообразия, то есть при п=3, уравнения аффинного преобразования (4) принимают следующий вид:

»!=«ι + «Г^{1 χ}ι + <4° ^х% + ^Х3

х_г=а₂ + а<²⁾ ж₁ + а<²⁾ ж₂ + а<²⁾ ж₃

. (7)

= «3 + «ί^{3) Ж}Х + «1^{3) Ж}2 + <4^{3) Ж}з

Для случая же аффинного ортогонального преобразования имеем, кроме того, следующие соотношения, получаемые из (6) и выражающие обычные условия ортогональности в трехмерном пространстве:

(α¹1)² + (α²)² + (α²)²=1 Κ)4«)² + (α²)²= 1 («з)Ч(«:)²+(а²)²=1

а а + а а + а α= 01

^а1^а1+ ^{а а}1+ ^а2^аз⁼0 > .(8)

«Χ+α²α²+αΧ=θ]

Пусть имеется точечное преобразование, определяемое ф-лами

^хг ⁽р1г (^хи ^х2, Ж₃, ···, ^Хи):

где i=1, 2,., я, и другое точечное преобразование, определяемое ф-лами

xt=4>ii№i, ^Х2, ···,*«),

где г =1,2,., и; тогда точечное преобразование

^Χί=Ψί(^Χ1, *2, ж₃, ., ^Хп)> где г=1, 2,., п, являющееся результатом последовательного применения данных преобразований, называется их произведением. Обозначая символически эти преобразования соответственно через Т_х, Т₂ и Т, можно написать: Т=Т₂ T_lt что в символической форме представляет следующее равенство:

Ψί(^χι, ж₂,., ж»)=¥>аι[ψη(^χι, ж₂, ж»), Ψΐ2 ^Χ1ί ^Χ2ι ···> ^Χη)ι ···» Ψΐη(.^Χ1ι ^Χ2ι ···> ^xn). (9) Нетрудно видеть, что произведение преобразований обычным свойством коммутативности не обладает.

В качестве примера действия над преобразованиями рассмотрим следующий слу чай. Преобразование Т_х заключается в следующем: ж._г=3Xt+Qi, а преобразование Т₂: ж i=2х_{ — b_t.

Т=Т₂Т_г=2(3ж_г + %) - Ь_{=6ж._г +2% - 6_г-;

У=TjT₂=3(2ж_г — Ь_г) +=6ж_; — ЗЬ_г +а_г;

ТфТ.

Можно рассматривать не одно какое-либо преобразование, а целую совокупность преобразований, обладающих каким-нибудь общим свойством. Из таких совокупностей особое значение имеют в современной теоретич. физике и в теории относительности т. н. группы преобразований (смотрите также Группа). Группой преобразований называют такую совокупность их, которая обладает тем свойством, что всякое произведение преобразований, входящих в состав данной совокупности, есть преобразование, также входящее в данную совокупность; например, если преобразования Т_и Т₂, Т₃ входят в состав какой-либо группы преобразований, то преобразования Т_хТ_г, Т₂Т₃, Т_ХТ₂Т₃ ит.д. также входят в состав этой группы. Символически jpynny преобразований обозначают через Т_. Часто какая-либо часть преобра зований, входящих в состав данной группы, обладает каким-нибудь свойством, не общим для всей группы; тогда они составляют т. н. подгруппу преобразований. Само собою разумеется, что подгруппа преобразований также составляет группу; так, из группы точечных преобразований можно выделить т. н. m-π араметренную подгруппу точечных преобразований, то есть такую совокупность их, которая зависит существенным образом от m произвольных параметров q_x, q₂,., q_m, так что

^χ{=Ψί(.^χι, ж₂,., х_п, q_x, q₂,., q_m), (10) где г= 1, 2, ., п. Такую m-параметренную группу символически обозначают через i G_m. Частный вид аффинных преобразований (4), например

x_i=x_i + a_i, (И)

гдег= 1, 2,., п, содержит в себе п параметров a_h так что эту группу аффинных преобразований, называемую группой параллельного переноса, можно символически обозначить через G_n. Общая же группа аф финных преобразований (4) содержит п па раметров а₍ и п¹ параметров а ^г так что ее можно символически обозначить через При п=3 эта группа будет содер-

0,

и 4-п жать 12 параметров. Аффинная группа преобразований содержит в себе две подгруппы: подгруппу параллельного переноса (11), получающуюся из (7) при=0, если г ФI, и=1, если г=I, и т. н. однородную подгруппу аффинных преобразований, получающуюся при «,= 0 и содержащую и² параметров а ^г>.

При исследовании целого ряда вопросов теоретич. физики, геометрии и т. д. особенно важное значение приобретают понятия И. группы и инвариантных у p-и и группы. Как было уже сказано выше, И.

группы преобразований i Т называется такая ф-ия координат ж⁽4 и х ²⁾ двух каких-либо произвольно взятых точек многообразия М„, которая не меняет своего вида при всех преобразованиях, входящих в состав данной группы. Т. о., если

1=1 {х[^г х

(!) _ж(1)

X

(2) _ж(2) ^,(2)

XX

X,

с<²>)

,(1)

П

(12)

есть И. данной группы, то должно иметь место равенство

1 &ΐ¹,

(1) Д(1)

о *

,(х) _ж(2) т,(2)

Л(жЧж<¹⁾,ж<>,

X

_ЖП)

i **"Н 1

ж;

&>) =

_т(2) ™(2) (2)

⁵ *^2 5 ^3 ’

, Хп²⁾)

при всех преооразованиях данной группы; так, для группы параллельного переноса (11) И. будет

Ц=х^-х^ (г=1, 2,8., «), (12)

так как 1.=х ²⁾ — ж-^1}=х[²⁾ + а_г — ж^ — а_г=_ т>(2)_ Д¹) =г

«*·£ •"г *

Инвариантным ур-ием данной группы преобразований I Т I называется такое ур-ие, содержащее координаты каких-либо двух точек многообразия М._п,

Т (_т(1) т(1) _г<1) ~(1) _г(2) _г(2) ™(2) —₀ /104

к-рое имеет при всех преобразованиях группы те и только те решения, что и ур-ие

Т(™( 1) ™(1) Д(1) ™(1) Д(2) Д(2) Д(2) Л (-10/4

i. > «^2 ’ *^3 » ···>«« i ^ 1 »^2 >···»**·№ Ч¹-’

рассматриваемое как уравнение относитель-но Ж^ и ж(²⁾.

Если дана какая-либо ф-ия (12) координат ж|^1> и ж|²⁾, то совокупность всех преобразований, при которых эта ф-ия сохраняет свой вид, образует группу точно так же, как все преобразования, сохраняющие инвариантность данного ур-ия (13).

В частной теории относительности Эйнштейна и в электродинамике имеет фундаментальное значение особая подгруппа аффинной группы в M_it называемая общей группою Лоренца и имеющая следующий инвариант:

!=(*«> -ж^)² + (ж<²> -ж¹*)² + (ж<²> -ж“¹»)² -

-сЧх^-х^У. (14)

Кроме того, встречается аффинная подгруппа преобразований в М₄, имеющая инвариантное уравнение той же формы, что и (14), то есть инвариантное ур-ие

I=(ж^— ж^)² + (ж⁽2²⁾ — ж^)² + (ж“²⁾ — ж^)² — — с² (ж“²⁾ — ж^)²=0. (140

Последняя группа преобразований носит название расширенной группы Лоренца. Аналогично можно говорить об общей и расширенной группах Лоренца в многообразии М₂. В последнем случае формулы аффинного преобразования имеют следующий вид (из ф-лы 7):

ж,=а. а

⁽¹⁾ х_г + α^^ι) ж₂

7.(^г).

х₂=а₂ + а[²⁾ х_г + а⁽2²⁾ _Х2 )

Или, если обозначить для простоты ж₄ и ж₂

через ж и ί, а коэфф-ты α_ν а[^г а^ а_г, а[^г) а<²⁾ соответственно через а, а_и а₂, b, Ь₁₍ b₂, то получим:

х=а 4- OjX + a₂t ) п^

~t=b +Ь_гх +b₂t Г ^Ц ’

Подставляя значение (15) в равенство

(i<²>-£W)»-₀*(t ⁽*>-f <*>)-

= (ж⁽²⁾ —ж⁽¹⁾)² — c²(i^<2) — ί⁽¹⁾)², (16)

выражающее требующуюся инвариантность, и произведя соответствующие преобразования, получим следующие соотношения между коэффициентами:

(К= -

; ъ₂=-

пт; ь?=-

?;² ’ Ί

(17)

где V=—; при этом группа преобразова-

Cii

ний (15) принимает следующий вид:

. ^υ

.. t- — x

ж= а +

V

t=i

jA-l

(18)

Полученная группа Лоренца в М_г, имеющая И. (16), называется частной группой Лоренца и имеет фундаментальное значение как в частной теории относительности, так и в новейшей волновой механике (de Broglie и др.).

Теория И. и соответствующих групп преобразований имеет крупное значение, т. к. по современным воззрениям как свойства пространства, так и основные свойства законов природы не зависят от координатных систем, то есть они инвариантны по отношению к преобразованию координат. Об И. с точки зрения тензорного анализа см. Тензорное исчисление.

В теоретич. механике играют известную роль т. н. интегральные И., сущность которых в простейших случаях заключается в следующем. Допустим, что имеется система дифференциальных ур-ий:

dx i у- dx, уг άχ^ι yr ,. /.

~dt~^JLl’ ~dt~^A-²’···’ dt --*·»> (.l^y)

где X_lt X₂, ., X_n суть нек-рые ф-ии переменных Ху, ж₂,., х_п и t. Если принять переменные ж_г за координаты пространства η измерений, a t рассматривать как меру времени, то совокупность дифференциальных уравнений (19) определит некоторое семейство кривых (I)). Ур-ия движения точки по какой-либо из кривых семейства (И), а тем самым и вид кривой соответствуют определенным начальным условиям движения, то есть значениям координат ж£, х, ., ж?, имевшим место в момент t°. Обозначим это начальное положение точки через Р°, а положение ее в момент t через Р. Допустим, что мы рассматриваем вариации координат при перемещении Р° по некоторой кривой С° или при соответствующем перемещении Р по кривой С, и возьмем далее интеграл

1=J Q₁6x₁ + Q₂6x₂ +.+ Q_ndx_n, (20)

где Qi суть нек-рые ф-ии переменных х_г, х₂, х₃,., ж„ и t, а интеграл взят вдоль кривой С.

Если перемещать точку Р° по С°, то х будут ф-иями некоторого параметра μ, принимающего на крайних точках С° нек-рые значения μ₀ и μ_χ. С другой стороны, переменные ж_г суть ф-ии от х и t. Поэтому вдоль дуги С координаты х_{ суть также ф-ии параметров μ и t, причем при интегрировании (20) следует считать t=Const. Если затем начать изменять время ί, то пределы интегрирования останутся μ„ и μ_Λ, но, так как элемент интегрирования зависит от ί, то и ί в общем будет зависеть от ί. Может случиться, -однако, что I окажется независимым от времени f, какова бы ни была дуга С. Такой интеграл и называется и н-тегральным И.

Интегральные И. более сложных форм связаны с т. н. гамильтоновыми и каноническими ур-иями движения и нашли применение при исследовании вопросов, связанных с устойчивостью тел, в т. н. статистич. механике, в кинетич. теории газов, в термодинамике и других науках. Интегральные И. были впервые исследованы Пуанкаре.

Лит.: Клейн Ф., О геометрич. основаниях Ло-ренцовой группы, сборник «Новые идеи в математике», СПБ ,1914, 7; Ф р едериксВ.и Ф р идм анА., Основы теории относительности, Л., 1924; Аппель П., Теоретик, механика, т. 2, М., 1911; Lie S о-phus, Theoried.Transformationsgruppen,В. 1—3,Lpz., 1888—93; Lie Soplius, Vorlesungen iiber kontinuirl. Gruppen. Ziir Einfiihrung in die Theorie derselben, bearb.n. hrsg. v. G. Scheffers, Lpz., 1891; Klein F., Ueber die geometrischen Grundlagen d. Lorenzgruppe, «Jahresbericht d. Deutsch. Mathematiker-Yereinigung», Lpz., 1910, B. 19; v. Laue M., Die Relativitats-theorie, В. 1, Braunschweig, 1921; В 1 a s c h k e W., Vorlesungen iiber Difierential-geometrie u. geometr. Grundlagen v. Einsteins Relativitatstheorie, B. 2, B., 1923; Weyl H., Raum, Zeit, Materie, 5 Auflage, B., 1923; Poincare H., «Acta Mathematica», P., 1890, y. 13; Poincar ё H., Les m6thodes nouvelles de la mdcanique celeste, v. 3, P., 1899; Cart an E., Legons sur les invariants integraux, P., 1922; Jeans J. H., The dynamical Theory of Gases, Cambridge, 3 ed., 1921; Levi-Civita T. ed A m a 1-d i U., Lezioni di meccanica razionale, v. 2, parte 2, Bologna, 1927; Whittaker E., Analytische Dy-namik der Punkte und starren Korper, Berlin, 1924; A p p e 1 1 P., Traits de m6canique rationnelle, v. 2, Paris, 1924, v. 5, P.,1925; Cam о у J., Cours de g^ometrie analytique, Paris, 1904; Niewenglow-sky B., Cours de g6om6trie analytique, v. 1—3, Paris, 1911—14. M. Серебренников.