Инверсия

Инверсия в математике. 1) И. в теории соединений, нарушение нормального порядка двух элементов в перестановке независимо от того, стоят ли эти два элемента рядом или отделены друг от друга промежуточными элементами. Перестановка, в которой порядок элементов принимается за нормальный, называется главной.

П р и м е р. В перестановке eacbd элемен-ты а и е, с и е, b и e, d и в, b и с образуют И., если за главную принять перестановку abcde.

Перестановки без И. или с четным числом И. называются перестановками четного типа, а перестановки с нечетным числом И.—перестановками нечетного т и-п а. Число перестановок того и другого типа из данного числа элементов одинаково. Для определения числа И. в данной перестановке нужно подсчитать элементы, стоящие перед элементом, к-рый в главной перестановке занимает первое место, затем, вычеркнув его, подсчитать элементы, стоящие перед вторым элементом (главной перестановки) и т. д.; сумма найденных чисел представит число И. в перестановке. Так, в приведенном выше примере, в перестановке eacbd—одна И. относительно я; в перестановке ecbd—две И. относительно Ь; в ecd—одна И. относительно с; в ed—одна И. относительно d,—всего пять И.; т. о., перестановка в этом случае нечетного типа. Перестановкам четного типа сопутствует знак «плюс», перестановкам нечетного типа—«минус». И. находят применение, например, в теории определителей.

2) И. в геометрии, преобразование обратными радиусами, на плоскости состоит в следующем: задается окружность данного радиуса R с центром в точке О (центр И.). Любой точке М плоскости соответствует точка М, лежащая на полупрямой ОМ на расстоянии, удовлетворяющем равенству: ОМ ОМ=К-(соответствие взаимное). Т. о., при И. область, внешняя относительно круга, переходит во внутреннюю и обратно; центр И. переходит в бесконечно удаленную точку плоскости (предполагаемую единственной). Ф-лы И. (если центр И. лежит в начале координат) для М(х,у) и М(х,у):

Окружности и прямые при инверсии переходят в окружности (в частном случае, окружности переходят в прямые).

П р и м е ρ. Равнобочная гипербола х² — у²=Л при И. в круге радиусα=1 переходит в лемнискату (ж²+г/²)²—Д⁴(ж²—у²)=0 (смотрите фигура).

Инверсия в пространстве определяется аналогично, с заменой окружности поверхностью шара.