Индуктивность

Индуктивность, физич. величина, являющаяся мерой электромагнитной инерции данной системы. Рассмотрим два контура 1 и 2, по которым проходят соответственно токи силою 1_г и 1₂. Тогда энергия магнитного поля W_m, создаваемого этими контурами,

W_m=L& + ША + - LJ.

Коэфф-ты I/_1; Ь₂ называются индуктивностями, или коэффициентами самоиндукции, контуров 1 и 2. Коэфф. М называется взаимной индуктивностью этих двух контуров, или их коэффициентом взаимной индукции. Отсюда энергетическое определение И. контура 1: И. L_x равняется удвоенной магнитной энергии, создаваемой контуром 1 при прохождении через него тока силою в 1 А. При отсутствии железа (μ=Const) энергетич. определению И. тождественны два других.

1) Динамическое определение: И. контура равняется электрич. напряжению е_с_, индуктируемому в контуре (эдс самоиндукции), деленному на скорость уменьшения силы тока в контуре:

2) Статическое определение: индуктивность контура равняется магнитному потоку Ф, окружающему этот контур, деленному на силу тока г в контуре:

г _ ®.

-“cm. i

Аналогичные определения можно дать и для взаимной И. При наличии железа μ не остается постоянным, и различные определения И. не являются эквивалентными.

Знание индуктивности чрезвычайно важно для расчета линий передачи, электромагнитов, колебательных контуров, сложных антенн и т. д. Существует весьма большое число ф-л и таблиц, дающих возможность определять И. системы. Общей основой для расчета индуктивности может служить формула, дающая магнитную энергию контура

(1)

W_m=lJdTS

άτ.

_жгг

Здесь т — объём, занимаемый данным контуром; άτ, άτ—элементы объёма в этом контуре, R—расстояние между ними, г, г—значения векторов плотности тока соответственно

в местах, занимаемых элементами объёма άτ я άτ, и μ — проницаемость. Интеграция производится дважды по всему объёму τ. Если плотность тока распределена равномерно по контуру, то формула упрощается и принимает следующий вид

VJSgPff · (la)

Приведем данные для индуктивности L некоторых контуров.

1) Тонкая катушка, имеющая N витков, высоту Ϊ, диаметр D, толщину s«i (μ=1).

Длинные катушки			Короткие катушки
в	L	L	1	L	L
1	DN²	IN*	D	DN²	IN²
0,0	0,000	0,0000	1,0	6,795	6,795
0,1	0,946	0,0946	0,9	7,293	8,103
0,2	1,816	0,3633	0,8	7,872	9,840
0,3	2,617	0.7S51	0,7	8,554	12,220
0,4	3,355	1,3421	0,6	9,371	15,618
0,5	4,038	2.0188	0,5	10,373	20,746
0,6	4,670	2,8018	0,4	11,643	29,107
0,7	5.257	3,680	0,3	13.333	44,44
0,8	5,804	4,643	0,2	15,783	78,91
0,9	6,315	5,684	0,1	20,067	200,67
1,0	6,795	6,795	0,0	со	со

2) Плоская катушка, имеющая А витков, внешний диаметр JD, внутренний—d, высоту

h«l(D+d).

Q о 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

3,485 4,278 5,256 6,429 7,823 9,487

DN²

~ 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

11,507 14,044 17,458 22,871 оэ

DN^a

3) Круглое кольцо. Число витков А (фигура), L=№ 2πΠ { In ^[l+0,11 (£)·]-

-1,75-0,0095 (^)²}· ·

4) Петля из прямого и обратного цилиндрических проводов на расстоянии d друг от друга. Диаметр проводов г.

L- 0,921 lg(U +0,1 ш-

5) Две параллельные полосы прямоугольного сечения bxh, расстояние между внутренними поверхностямик-рыхравноd(d|j b).

L=z[2(2 + f)³ln(fc + 2b + d)-4(l + |)²·

ln(/i+b + d)+2 (£)² In (h + d)-41n(fc + 6)] ·

Если dteO, то

I,=8 l · In ( i + jyyy) ·

Если, кроме того, то

_T Sib

^ь=д + ь ’

В случае линейного контура, образуемого проводом, поперечные размеры которого незначительны по сравнению с длиной, формула (1а) упрощается и принимает вид:

£ J* J‘ dr - dr -Я coss’ds-ds

К К К К

где dr, dr—элементы данного контура К, R—их расстояние, ε—угол между dr и dr. Интеграция выполняется дважды по всему контуру К.

6) Для окружности радиуса а при цилиндрическом проводе с диаметром 2г

^L =[(1 + и Ш V + 2ЙГ. -1 >⁷⁵] ^{10-9 н}

7) Для квадрата, сторона которого а L=8a (in -_r+^r- - 0,774 + /ий) · ΙΟ"⁹ Н,

где <5=0,25 при постоянном токе.

8) Для треугольника со сторонами», b, с L=2 { а In у + Ып у- + е In |^с — (а + Ь + с) —

— (b + е) Ar sh — (с + а) Ar sh — — (а + b) Ar sh S_c } Ю^-9 Ы,

где S„ =

ft-

c² 4- b² - a

-у ₅

V²=2 (a²c² +

а^г + с^г- Ь^г

ft--

^! + a^! - c²У

^! + b²c²) — a¹ — b⁴ — c*.

Для более сложных многоугольных контуров можно пользоваться упрощенным методом Баженова, сводящим И. мн-ков, обладающих тем ж;е периметром I и той яге площадью S, к простому выражению:

L=21 ( In ~ + μδ-φγ ΙΟ⁹ Η, где при постоян. токе <5=¹/₄, а φ определяется как ф-ия^~ (смотрите Замкнутая антенна).

При переменном токе приведенные формулы несколько изменяются, потому что плотность тока не распределяется больше равномерно по сечению провода, а вытесняется к его поверхности (смотрите Скинэффект). Магнитная энергия, связанная с контуром, м. б. в этом случае разбита на две части: магнитная энергия внутри провода и магнитная энергия вне провода, причем перераспределение плотности тока внутри провода не влияет на внешнюю магнитную энергию. Т. о., можно и И. разбить на внешнюю И., не зависящую от частоты, и внутреннюю И., убывающую с увеличением частоты, проницаемости и сечения провода и возрастающую при увеличении удельного сопротивления провода. Внутренняя И. провода, имеющего длину I см, м. б. выражена ф-лой:

Li=2μΙδ ΙΟ-⁹ Η,

где <5=0,25 при постоянном токе, а при переменном—определяется уже по специальным таблицам. Обычно внутренняя И. провода незначительна по сравнению с И. контура, однако, для железных проводов, благодаря большому значению проницаемости, приходится считаться с этой И. (смотрите Провода железные).

Взаимная И. двух линейных контуров К я К определяется по ф-ле:

Μ =·μ f dsj ^eosA-- - ΙΟ-⁹ Η,

Κ K’

где As, As—элементы длины контуров, ε— угол между ними, R—их расстояние. Так, два параллельных провода на расстоянии А друг от друга и при длине I имеют взаимную индуктивность м=2J[inι±νμ1_ν]ψ^ ₊ f]. ₁₀-₉ н.

При l»d эта формула упрощается:

Μ=2ί [ln§- 1 + I] · ΙΟ"⁹ Η.

Взаимная И. двух параллельных, конакси-альных колец с круглым сечением, расположенных на расстоянии х друг от друга, определяется по ф-ле:

М=АкуУШ- ΙΟ⁹ Н,

где А и а—радиусы колец, у=(k — -jK -(-1Е,

1.2 ________ Τζ _ Г .—,

(А + а)^г — ж² ’ J у 1 - ft·sin² φ

E=j ΑφΫ 1 — к² sin² φ.

Значения эллиптич. интегралов К, Е определяются по особым таблицам.

Лит.: БаженовВ. И., «ТиТбП», 1927, стр.347; «Elektr. Nachrichtentechnik», В., 1929, р. 22; А Ь-raham М., Theorie d. Elektrizitat, В. 1, 7 Aufl., В.—Lpz., 1923; Erade F., «Die Elektrische Ma-schine», Pfitzn, 1912, p. 221; Esau A., «Jahrbuch d. drahtl. Telegr. u. Teleph.», B., 191 i, B. 4, p. 212; Spielrein Jl, «Archiv fur Elektrotechnik», B., 1915,B.6,p.187; B r e i s i g F., Theoret. Telegra-phie, Telcgraphen-u. Fernsprechtechnik in Einzeldar-stellung, hrsg. v. Th. Karrass, B. 7, 2 Aufl., Brschw., 1924; Orlich E., ICapazitat u. Induktivitat, ihre Begriffsbestimmung, Berechnung u. Messung, Brschw., 1909; «Scient. Papers of the Bureau of standards», Wsh., 468; Cohen L., Formulae a. Tables for the Calculation of Alternating Current Problems, N. Y. 1913; N о 11 a g e W. H., The Calculation a. Measurement of Inductance a. Capacity, L·., 1916; Rosa E.B.a. Grover T. W., Formulae a. Tables for the Calculation of Mutual a. Self-Induction, «Bureau of Standards, Bull.», Wsh., 1912. Я. Шпильрейн.