> Техника, страница 57 > Лежандра полиномы

Лежандра полиномы

Лежандра полиномы (функции), получены им в 1784 г. при исследованиях, связанных с потенциалом (смотрите) точек шаровой поверхности, выражающимся при известных предположениях ф-лой

t=—A=.

]/1-2Ж) + г2

Во многих вопросах математической физики и в астрономии приходится функцию Т разлагать в ряд по степеням г, причем: при г < 1

Т=Р₀(ж) + гР^х) +

+ г²Р₂( ж) +. + г^пР_п(х) +. при г > 1

р=‘р„(ж) + 1р₁(_Ж) +

+ -а Ρ>Χ^χ) +. + ~ р„(х) +

Коэф-ты Р₀, Р₁₍ Р_2>., Р_п,. называются полиномами Лежандра 1-го рода порядка нулевого, 1-го,., и-го,. В развернутом виде: Р„(т)=1; Ρ₁(χ)= х P Jx) _ 1 (Зж² _ 1);

ВД=а(5.т²-3ж);;

Ри(х)

1 · 3 · 5. (2п-1)

I n(n-l)(n-2)(n-3) _и_₄"г 2· 4· (2n-l)(2n-3)

n(n—1) ^,η-2 2(2n-l)‘

I Xⁿ - ZZ Tt X

откуда

P»( - x) - p»( + *); Pud)=l; P,»_ti(0)=0;

p,

P*»(0)

2ϊί +1 ( X) ~ P2П+l(P X):

1 3· 5. (2/1 — 1)

2« · n!

За аргумент x часто берут cos тогда P_t(cos &)=cos 0; P₂(COS &)=^3C0S** ^{+ 1}.;

P₃(cosft)=g(5cos3Θ- + 3cos #);.; P„(cos#)-

- ^LJ4^T^L“{^C0SW^ + Г · 2n”-l cob(»-2)# +

+ г1-(2п5-^з)^соз^-⁴^+--- +

+ ί 2ТГ-1^cos [ - (n - 2)^1 + COS (- n)&} ·

Л. и. P_n(x) можно определить через производную w-го порядка ф-ии (ж² — 1)” (формула Родрига):

Р М - ¹ W*¹-»”

*«· 2« · п! йж»

Из этой ф-лы видно, что все корни ур-ия Р„(ж)=0 действительны, отличны друг от друга и лежат в интервале от (-1) до (+1).

В интегральной форме Л. и. выражаются при помощи интеграла Лапласа:

п

Рп(х)=J* (ж -j- COS φ ]/ж² — T)ⁿdq>

и интеграла Шлефли: Ρη(χ)=& f

-г“*>

(С) 2«((-ж)« ⁺

где контур интеграции С один раз окружает точку ж.

До сих пор речь шла о Л. и., т. e. п принималось за целое положительное число; последний интеграл позволяет, путем наложения добавочных условий на контур интеграции С, распространить выводы на любое значение п и говорить уже о функциях Лежандра или сферических (по Гауссу). Функция Р_и(х) удовлетворяет диферен-циальному ур-ию Лежандра:

(1 - ~f^X) + п(п + 1)Р_и(ж)=0.

Другим частным решением этого ур-ия служит ф-ия Лежандра 2-го рода: п

Зя (i) — J7

3 δ. (2n-l)(2n+t)

+

ф. + !)(« + 2) _и__а~ 2(2п + 3) “^г

. (тг + 1) (η + 2) (та + 3) (та + 4)

2-4-(2п + 3)-(2П + 5) *

Каждый из трех интегралов

+ 1

+ 1

J Рт(х) ад dx, J* Q_m(x) · Q_n(x) dx,

+1

f Pm(x) * Qn(x) dX

равен 0, если тфп, и равенпри т=п. Три последовательных функции Лежандра

1-го или 2-го рода связаны аналогичными рекурентными соотношениями:

(и + 1)Р_и+1(ж) - (2п + 1 )хР_п(х) + пР_п-г(х)= О, Р,(^х) — ^хРо(^х)=О,

(п + l)Q_n+iO) - (2и + 1)хQ_n(x) + V Q_n-i(.z)- О, Q₁(x)-xQ₀(x) + l=0,

дающими возможность вычислить последующую функцию по двум предыдущим и составить таблицы сферических ф-ий, находящих, подобно Бесселевым функциям (смотрите), широкое практич. применение. Связь между Бесселевыми и сферич. функциями устанавливается формулой:

I „(;!>)=(- l)^m lim PV (cos *),

П=оо ⁷¹

где

РТ(х)=( 1-ж²)·

т d”^lP„(.x) dx^m ’

τ.н.ассоциированные ф-ии Лежандра, для которых т—целое положительное число, а п—совершенно произвольно. Обобщение ф-ий Лежандра на случай двух переменных & и φ было дано Лапласом, почему эти ф-ии, обозначаемые символом Υ_η(&, φ), носят его имя. Они удовлетворяют диферен-циальному ур-ию Лапласа:

1 в f.,_ _А6Г,(»,») -_Х 1 δ*Υ_ηφ,φ)

ч2 I

(si

Sin 1

Vi

sin#d# d& ) ‘ sin²#

+ n(n + l)Y_n(&, <p)=0

и связаны с ф-иями Лежандра соотношением:

h=2n + l г

γ„(&, <р)= 2 ^тъ^рп I^{cos & cos &}k +

k=l

sin ft · sin ft_k · COS (φ

где &_k и φ_k—постоянные параметры, a m_t— произвольные постоянные. Kaic ф-ии Лежандра, так и ф-ии Лапласа применяются для разложения в ряд других ф-ий, наир.:

;тЬз-^{вд + 5}й)^{ад +}

+ ⁹(₂^4)²Р₄(ж) +.

Лит.: Н e 1 и е Н. E., Handbuch der Kugelfunk tionen, 2 Aufl., В., 1881; Whittaker E. T. and Watson G·. N. Course of Modern Analysis, 3 ed., Cambridge, 1920; Μ I s e s R. u. F r a n k P„ Pie Differential- u. Integralgleichungen d. Mecbanik u Phy-sik, T. 1—2, 7 Aufl., Brschw., 1925—27; I a h n k p E. und E m d e F., Funktionentafeln mit Formeln nnd Kurven. TjU7.—B., 1923. В. Коновалова.