> Техника, страница 59 > Максвелла уравнения

Максвелла уравнения

Максвелла уравнения, диференци-альные ур-ия, установленные англ, физиком Максвеллом и выражающие в математич. форме классич. теорию прошлого столетия электромагнитных явлений, основанную на представлении о близкодействии. До Максвелла рассматривали действие на расстоянии между электрич. зарядами или элек-трич. токами, а следовательно и магнитами, не заботясь совершенно о том, каким образом взаимодействие это распространяется. Фарадей в своих опытах исходил из представления о том, что электромагнитные взаимодействия передаются через промежуточную среду—«мировой эфир». В этом эфире возникают «квази-упругие» состояния, а «силовые линии» являются реальными физич. субстанциями, заполняющими пространство и определяющими своими движениями и своей деформацией электромагнитные взаимодействия видимых материальных тел. Максвеллу удалось выразить количественно эти представления при помощи диференциаль-ных уравнений, послуживших основанием для изучения распространения электромагнитных возмущений. Чисто теоретич. опыты Герца, поставленные для обнаружения электромагнитных воли, предсказанных теорией Максвелла, привели к величайшим практическим достижениям современной радио техники. В настоящее время М. у. получили дальнейшее развитие. Самое представление о близкодействии сменилось представлением о запаздывающем дальнодействии. Понятие мирового эфира в связи с развитием теории относительности стало излишним и даже вредным. Волновая механика вносит коренные изменения в наши представления об электромагнитных явлениях. Тем не менее М. у. являются и в настоящее время основными для электротехнич. расчетов в тех случаях, когда явления нельзя считать стационарными, сохраняя свое значение независимо от реального физич. существования силовых линий.

В интегральной форме М. у. выражают следующие два закона. 1) Закон полного тока: магнитное напряжение обхода вдоль замкнутого контура равно полному току сквозь поверхность, окаймленную этим контуром. Этот закон выражается ф-лой:

f_KHdr=I+%, (1)

или в диференциальной форме для неподвижных тел:

rot II =i + ~, (la)

rot Η =λΕ + εΚ₀^ · (lb)

Здесь: Ж—вектор напряженности магнитного поля в А [см; Έ—то же для электрич.поля в V/слг; К₀—диэлектрич. постоянная вакуума, равная 0,884 10^-13 фарад/см, ε— относительный диэлектрич. коэфициент; λ— удельная проводимость; j—вектор плотности тока, равный λΕ А/см²; Ό—вектор смещения, равный εΚ₀Ε кулонов на см², I—ток проводимости в А, равный потоку вектора плотности тока j; у>—поток вектора смещения £>, выраженный в кулонах. В ортогональной координатной системе ОХ, ОХ₂, ОХ₃ ур-ие (lb) принимает вид:

эн₃ дн_{2 МрТГ} дЕ₁

дх₂ дх₂ЭН, ЭН₃

dx_s дх, ""^{2 1} "“о dt

°dt дЕ-

(lc)

dt

При стационарных явлениях=0, полу чается уравнение:

rot Н =j,

к-рое эквивалентно закону БиО-Савара. При быстро переменных явлениях или при больших напряженностях поля приходится в ур-ии (1) считаться с емкостным током сме-

dw

щения _dt, определяющим магнитное напряжение совместно с током проводимости I. Из (1а) следует:

div rot JET=divi + — (div D)=0. (2)

T. к. div D=ρ кулон/сл4³, то ур-ие (2) эквивалентно

divJ — % <2a>

где ρ—плотность электрич. заряда. При стационарных явлениях=0, следовательно divi=0,

что эквивалентно правилу Кирхгофа. я

эе8	_ A -	— II П	дН i
их.	Ох3	fAjLJL	dt
dEi	0Е з _	-μΠ	дН 2
дх3	дхг		dt
ОЕ.г _	£>£, _	— μΠ	dUz
дхг	дх2		dt

2) 3 а к о н инду к дни. Электрич. напряжение обхода вдоль замкнутого контура равняется магнитному спаду, то есть скорости уменьшения магнитной индукции через поверхность, окаймленную данным контуром (смотрите Индукции закон). Этот закон выражается ф-лой:

>^Edr=-Tt’ О)

или в диференциальной форме для неподвижных тел:

rot Е=- Ц (За)

и при отсутствии железа

rot is=— μΠ -* (Зb)

Здесь: Π—проницаемость вакуума, равная 1,25601 · 10~⁸ генри/еж; μ — относительная проницаемость; В—вектор индукции в вольт-секундах на сж²; Ф—поток вектора В, выраженный в вольтсекундах. В ортогональной координатной системе ОХ_1г ОХ₂, ОХ₃ ур-ие (ЗЬ) принимает вид:

(Зс)

При стационарных явлениях=0, так что получаем ур-ие:

rot E=0.

Вектор Еж. б. выражен в этом случае как градиент скалярного потенциала. Из (3) следует:

div=о или div В=Const.

di

Эта постоянная равна нулю, так что

div В=0. (4)

Энергия электро-магнитного поля связана с распределением в пространстве векторов электрич. и магнитного поля. Плотность энергии электрич. поля (безразлично, будет ли поле статическим или нет) определяется по ф-ле:

w_e — J ED ваттсекунд/см³. (5а)

Плотность энергии магнитного поля при отсутствии железа определяется по ф-ле:

w_m=%НВ ваттсекунд/сж³. (5Ь)

М. у. (1)—(5) дают полное основание для построения теории электромагнитного поля ^ неподвижных изотропных телах. Интегрирование этих диференциальных ур-ий приводит к волновому диференциальному уравнению: если взять ротор от обеих частей ур-ия (lb) и подставить в правую часть значение rot Е из (Зb), то получится:.

эн

rot rot Η=λ rot E

εΚ₀ rot-_a(

- _тт дН г“- _тт д²Л

= -λμΗ_ΊΓ-εμΚ₀ 7/_ж-

Так как в однородной среде div if =0, то rot rot if=— χ4£·, следовательно

·> ΪΤ Т ТТ д-Н I Т7~ ТТ д²¹*

V^{lr λ}υ^π Jt + ^£МК₀П _Tt2

Это—ур-ие затухающей волны. В диэлектриках /1=0, так что поглощения энергии не происходит и напряженность магнитного поля определяется из ур-ия:

8*Н

*^1IL=h_dt>

где с“=-

- скорость распространения

°-μΚо я электромагнитного возмущения, равная скорости света в данной среде. См. Электродинамика.

Лит.: Т а м м И. £., Основы теории электричества, т. 1, М.—Л., 1929; М и т к е в и ч В. Ф., Физические основы электротехники, ч. 1, М.—Л., 1928; Maxwell J. С., A Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford, 1904; Abraliam M., Theorie d. Elektrizitiit, 7 Aufl., В. 1. B.—Lpz. 1923; Cohn E. Das Elektromagnetische Feld,2 Aufl. B. 1927;Emde Fr., Ausztige aus James Clerk Maxwells Elektrizitat n. Magnetismus, Brsehw., 1915. Я. Шпильрейн.