Техника Сельское хозяйство
Главная страница > Техника, страница 61 > Механика строительная

Механика строительная

Механика строительная, комплекс прикладных дисциплин, излагающих методы расчета сооружений и их деталей. В понятие, обнимаемое этим комплексом, отдельными авторами и учебными программами втузов вкладывается весьма различное содержание. Повпдимому правильнее всего М. с. рассматривать как объединение всех дисциплин, излагающих методы расчета сооружений в целом и их деталей, опирающихся на нек-рые общие для всех дисциплин основные гипотезы и положения. Основной задачей М. с. является расчет прочности как систем, представляющих собой отдельный стержень или брус, так и сооружений, являющихся сочетанием определенного числа отдельных стержней. Кроме изложения этой основной задачи курсы М. с. обычно заключают в себе и ряд вводных дополнительных глав, находящихся до некоторой степени вне основного построения дисциплины. Отдельным разделам дисциплины в основной ее части дают названия графической статики (смотрите), сопротивления материалов (смотрите), статики сооружений. К вводным разделам дисциплины следует причислить такие главы, как статика сыпучих тел, и др. Следует также отметить, что все эти перечисленные главы не являются четко обособленными и самостоятельными частями предмета. Наоборот, все они связаны общностью гипотез и методики, сферы их действия в значительной степени переплетаются, и т. о. разделение задач М. с. по главам с вышеуказанными наименованиями представляется в значительной степени искусственным и произвольным. В самое последнее время, желая подчеркнуть общность методов М. с., с одной стороны, а 6 другой, учитывая неудобства в пользовании термином, позволяющим различное толкование, ряд авторов выдвигает новое название для этой дисциплины, именно— «теория сооружений». Наименование это, хотя и безусловно удачное, не получило однако еще достаточно широкого распространения. Многие курсы М. с. содержат в себе также главы и отдельные ссылки, заимствованные из «теории упругости», Дисциплины, смежной, с М. с. и обладающей некоторыми общими с ней исходными положениями, но все же принципиально от нее отличной как

в смысле особенностей методики, так и в смысле пределов применимости. Затем параллельно с рассмотрением вопросов анали-тич. методами М. с. в отдельных курсах весьма часто приводятся результаты экспериментальных исследований и испытаний различных материалов как в пределах упругой деформации, так даже и за этими пределами, хотя область остаточной деформации принципиально исключается М. с. из рассмотрения. Обращение к результатам эксперимента объясняется необходимостью обосновать приложимость апалитич. выводов М. с. к употребляемым в инженерной практике материалам и сооружениям. С этой точки зрения соответствующее внесение в такую по существу аналитпч. дисциплину, как сопротивление материалов, данных экспериментальных исследований представляется вполне обоснованным и даже необходимым.

Основными особенностями методики М. с. являются следующие три приема: 1) замена действительного сооружения условной расчетной схемой, 2) создание ряда рабочих гипотез и 3) ограничение своей задачи определенными рамками или пределами, именно такими, в которых принятые рабочие гипотезы не дают чрезмерного расхождения с действительными явлениями в материалах или сооружениях. Первый из этих приемов, то есть замена сооружения его условной расчетной схемой, является основой построения всей дисциплины. Этот прием позволяет все разнообразие действительных сооружений подвести под одну из немногочисленных схем, разбираемых в М. с., что придает этой последней необходимую общность. Замена сооружения условной расчетной схемой основывается на сознательном игнорировании второстепенных моментов в работе материала и создании такой упрощенной схемы, которая отвечала бы только основным явлениям, имеющим место в данной конструкции. Примером использования этого приема является замена расчета например такого пространственного и жесткого сооружения, как мост, состоящего из сквозных ферм с клепаными узлами, расчетом плоской шарнирно-стержневой системы. Замена действительной картины условной применяется не только по отношению к схеме сооружения, но и к действующим на сооружение силам. Так, нагрузка, распределенная на весьма малую площадь по сравнению с основными размерами ссорузкения (например давление колеса паровоза), заменяется условной сосредоточенной силой, динамич. действие на мостот проходящего поезда заменяется действием системы условных статич. грузов величина которых выбирается с учетом динамич. воздействия фактич. нагрузки. Это приведение динамической и повторно действующей нагрузки к статич. уровню, то есть к действию однократно прилагаемой статич. нагрузки, применяется почти во всех главах М. с., за исключением особых разделов, посвященных динамич. нагрузке. Одной из основных целей этих посвященных динамике глав является выработка т. н. динамич. коэф-тов, то есть теоретич. обоснование перевода нагрузки к статич. уровню. Создание рабочих гипотез в М. с. ведется также путем сознательного игнорирования второстепенных явлений и обстоятельств и приписывания материалу в абсолютной степени тех свойств, к-рыми он обладает только в относительных, хотя и очень значительных, размерах. Подобное создание рабочих гипотез путем идеализирования свойств изучаемого объекта является типичным не только для М. с., но именно в ней, как в прикладной отрасли знания, этот прием получает особо широкое развитие.

Основной рабочей гипотезой М. с. является признание за рассматриваемыми материалами свойств идеального упругого тела. Этой гипотезой предполагается, что 1) вещество тела равномерно и непрерывно распределяется по всему его объёму и 2) что тело это однородно, то есть обладает во всех своих точках и во всех направлениях одинаковыми свойствами, в частности упругими. При этом делается допущение,что выделяемые из этого тела бесконечно малые элементы будут иметь все те же физич. свойства, к-рыми обладает идеальное упругое тело в целом. Эти условные предположения, позволяющие применять в отношении явлений в материальных телах анализ бесконечно малых, находятся в принципиальном противоречии с современными представлениями о строении твердых тел, имея в виду, что большинство материалов представляет собой агрегат из компонентов, резко отличающихся между собой упругими и прочими свойствами. Однако представляется в определенных пределах возможным признавать и за такими материалами свойства однородного тела/если такой материал обладает однородностью в статистик. смысле этого слова, то есть если выделяемые из тела конечные объёмы, достаточно большие, чтобы заключать в себе несколько зерен или кристалликов каждого компонента агрегата, но все же весьма малые по сравнению с общими размерами тела, будут обладать одинаковыми средними свойствами.

В отношении идеальных упругих тел признается, что при отсутствии внешних сил тело при данной ί° имеет определенную форму и определенный объём. Для изменения формы и объёма тела при неизменной Т необходимо приложение внешних сил, причем предполагается, что определенному изменению формы теля соответствует и вполне определенная система сил, и обратно—определенной системе сил соответствует вполне определенное изменение формы тела. Случаи, выходящие из рамок этих предположений, рассматриваются в особых разделах дисциплины, посвященных неустойчивым формам равновесия. Далее предполагается, что по удалении внешних сил тело полностью возвращается к своей первоначальной форме, то есть к естественному состоянию, за которым признаются свойства устойчивого равновесия. Гистерезис (смотрите) и влияние времени на протекание упругих явлений не учитываются. В тех случаях, когда рассмотрению подлежат тела явно неоднородные, как например железобетон, тела эти искусственно приводятся к схеме однородного тела введением т. н. приведенных площадей.

Второй основной гипотезой М. с. является условное предположение, что между дефор мацией и напряжением существует линейная зависимость, которая остается постоянной при любом знаке и любой величине напряжения (закон Гука). Это условное предположение в определенных пределах достаточно близко соответствует действительным явлениям в таком материале, как сталь, и значительно менее близко.к действительности в отношении таких материалов, как чугун, камень, дерево и др. Все перечисленные выше гипотезы являются основными и для теории упругости. Специальной гипотезой М. с. является предположение, что плоские сечения, нормальные к оси бруса, остаются плоскими и после деформации в том случае, когда действие внешних сил вызывает в этих сечениях только нормальные напряжения (гипотеза Бернулли). Это предположение в отношении брусьев прямых или малой кривизны приводит к другому положению, именно—к гипотезе изменения нормальных напряжений по закону плоскости (гипотеза Навье).

Очевидно, что выводы М. с., основанные на перечисленных рабочих гипотезах, применимы толькр с определенными ограничениями именно лишь к тем случаям, в отношении которых сделанные в этих гипотезах предположения оправдываются с достаточной степенью точности. Прежде всего поэтому выводы М. с. могут применяться к явлениям лишь в пределах упругости, то есть только при таких напряжениях, при которых остающиеся деформации практически равны нулю. Затем М. с. ограничивает свою задачу только такими явлениями, которые сопровождаются малыми деформациями и малыми по сравнению с общими размерами тела относительными перемещениями. Это ограничение позволяет считать, что деформации, вызываемые одной системой сил, не вызывают изменений в действии другой системы сил, приложенной к тому же сооружению. Отсюда в свою очередь вытекает возможность определять совокупное воздействие нескольких систем сил на тело как сумму воздействий каждой системы в отдельности. Это свойство аддитивности воздействий обычно носит название принципа сложения действия сил или независимости действия сил и является одним из важнейших принципов дисциплины. Следует однако отметить, что в число случаев, рассматриваемых М. с., входят также и такие, где принцип этот нарушается. К таким особым случаям относится например продольный изгиб, совместное действие изгиба и сжатия и др. Указанные выше ограничения принимаются также и теорией упругости. Соответственно.же указанной выше специальной гипотезе М. с., именно гипотезе Бернулли, этой дисциплиной вводится и дополнительное ограничение своих задач, именно рассмотрению подвергаются лишь такие тела, поперечные размеры которых малы по сравнению с длиною тела. Только в отношении таких тел, называемых брусьями или стержнями, гипотеза плоских сечений оправдывается с достаточной для практики степенью точности. К сожалению, выводами М. с. нередш пользуются и вне рамок ее действительной применимости. К подобной экстраполяции можно прибегать только в качестве первого приближения и всегда следует учитывать при этом возможность крупных ошибок и погрешностей.

Общая схема построения М. с. может быть представлена з следующем виде: I. Теория внешних сил. Плоские и пространственные системы сил. Неподвижная и подвижная нагрузка. II. Теория отдельного статически определимого бруса (сопротивление мате-риатов): а) теория сечения; б) основные явления в брусе в их чистом виде; чистые растяжения, сжатие, сдвиг, изгиб, кручение и местное действие сил; в) комбинированные явления; косой изгиб, совместное растяжение и изгиб и т. д.; г) построение изгибов, основанное на свойствах диференциального уравнения упругой линии. III. Теория статически определимого шарнирно-стержневого сочетания брусьев (статика сооружений):

а) аналитич. определение усилий в фермах;

б) графич. определение усилий; в) влияние подвижной нагрузки; г) пространственные шарнирно-стержневые системы. IV. Основные теоремы о перемещениях в упругих системах. У. Расчет статически неопределимых систем. VI. Вводные главы М. с.: а) динамическое действие сил; б) продольные изгибы;

в) статика сыпучих тел.

В первом разделе этой схемы изучаются нагрузки, действующие на тела, даются способы нахождения реактивных сил и исследуется характер воздействия совокупности активных и реактивных сил на сооружение. Рассматриваемые в М. с.действующие на сооружение нагрузки м. б. подразделены на нагрузки объёмные, то есть распределенные по объёму тела; поверхностные, то есть действующие на определенную поверхность; ли-нейяые, то есть распределенные по длине оси бруса, и сосредоточенные. Так как природа всякой нагрузки всегда материальна, то есть

. связана с объёмом, то r строгом смысле слова все нагрузки принадлежат к числу объёмных.

, Все же остальные из перечисленных категорий нагрузок являются по существу условным схематич. изображением действия сил : на тело. В виду малых поперечных размеров бруса обычно пренебрегают тем обстоятельством, что фактически нагрузка бывает приложенной по поверхности бруса, и относят ее непосредственно к оси бруса, то есть к линии, соединяющей ц. т. поперечных сечений тела. Только в отдельных монографиях (Бел-зецкий, Руднев и нек-рыз др.) учитывается : влияние переноса нагрузки с поверхности на ось. Ось бруса и является тем условным расчетным сооружением, к которому относят действие внешних сил. В виду того что М. с. ограничивается только рассмотрением случаев с малыми перемещениями, представляется возможным считать внешние силы приложенными к оси бруса в ее недеформированном состоянии. Это обстоятельство позволяет к условиям равновесия упругих тел применять все те правила и положения,

! которые даются в теоретич. механике для абсолютно твердых неизменяемых тел. Поэтому ! для сложения, разложения и переноса сил, приложенных к сооружению, М. с. полъ-зустся всеми графич. и аналитич. приемами, известными в механике теоретической (смотрите). К специальным практическим приемам М. с. для сложения сил, лежащих в одной пло скости, нужно отнести метод т. н. веревочного многоугольника (смотрите), хотя это построение иногда изучается и в курсах теоретической механики. Для плоской системы сил теоре-тич. механика дает, как известно, три ур-ия равновесия, иначе говоря, три условия для нахождения реактивных сил. Т. о. сооружение, представляющее собой один жесткий диск, является статически определимым относительно реакции опор в том случае, если реакции опор содержат три и не более трех неизвестных. Наиболее частой комбинацией опор для плоского статически определимого сооружения являются две опоры, именно шарнирно-неподвижная опора и шарнирно-подвижная опора. В последнее время все больше входит в употребление условное изображение реактивных устройств при помощи опорных стерженьков. Определение реакций сводится к разложению равнодействующей внешних сил на три непересе-кающиеея в одной точке составляющие по направлениям трех опорных стерженьков. Для статически определимой относительно реакций опор жесткой пространственной системы для закрепления к опорам необходимы 6 опорных стержней, не пересекающихся по одной прямой, соответственно 6 условиям равновесия пространственной системы сил. После того как будут определены реакции опор, представляется возможным перейти к исследованию действия совокупности внешних сил набрус. В этом исследовании элемент ds бруса в любом мысленно проведенном сеченип рассматривается как звено, соединяющее две группы активных и реактивных сил, именно группу сил, находящихся левее сечения, и группу сил, находящихся правее сечения. Действие этих двух групп сил на элемент ds сводится в общем случае к нормальной силе Лтг, вызывающей растяжение или сжатие, моментам Мх и Му, вызывающим изгиб элемента вокруг осей×и У, лежащих в плоскостях сечения н являющихся главными осями инерции сечения, поперечным силам Qx и Qy, вызывающим сдвиги, параллельные осям×и Г, и крутящему моменту Mz, вызывающему кручение вокруг оси Z, совпадающей с касательной к оси бруса в месте сечения.

Для расчета прочности сооружения необходимо знать в каждом сечении бруса наибольшие значения изгибающих моментов, поперечных сил, нормальной силы и крутящего момента. Разрешение этой задачи при неподвижной нагрузке делается методом построения эпюр (смотрите Балки неразрезные и Балки простые), в случае подвижной нагрузки—методом линий влитии (смотрите). После того как одним из этих методов будут найдены в каждом сечении значения моментов, нормальных и поперечных сил, представляется возможным перейти собственно к расчету прочности, то есть к определению внутренних напряжений и деформаций (смотрите) в брусе. Этому исследованию внутренних сил в брусе, возникающих при изгибе, сдвиге, сжатии или растяжении и кручении, в курсах М. с. обычно предпосылают раздел, посвященный исследованию сечения, или так называется теорию сечения. Это исследование заключается в нахождении определенных ве личин, характеризующих сечение с геометрической стороны и называемых моментами инерции (смотрите). Необходимость нахождения этих величин вызывается тем, что они входят в выражения, определяюнше значения напряжений и деформаций при изгибе, сдвиге и кручении. В теории сечения подвергаются исследованию моменты инерции, центробежные моменты инерции и полярные моменты инерции, из которых в теории изгиба, кручения и сдвига находят применение в большинстве случаев т. и. главные центральные моменты инерции.

Как выше было указано, действие внешних сил на элемент бруса в общем случае сводится к изгибу относительно двух осей, сдвигу параллельно двум осям, растяжению или сжатью и кручению, действующим на элемент одновременно. Для упрощения рассуждений обычно в М. с. сперва расчленяют все эти явления, рассматривают каждое из них в отдельности и лишь затем, изучив эти явления в чистом виде, переходят к рассмотрению комбинированных явлений, то есть сочетаний нескольких одновременно действующих на элемент бруса факторов. Эти чистые явления стедующие: чистое растяжение или отрицательное растяжение — еж тие, то есть случай, когда имеется только нормальная сила; чистый изгиб, то есть случай, когда действие внешних сил на сечение сводится только к изгибающему моменту относительно одной из главных осей инерции сечения; чистый сдвиг, то есть случай, когда на сечение действует только поперечная сила, и чистое кручение, то есть случай, когда действие внешних сил на сечение сводится к крутящей паре. Чистые растяжение, сжатие, изгиб и кручение м. б. реально осуществлены. Что же касается чистого сдвига, то рассмотрение его в качестве явления, возникающего в результате действия на сечение поперечной силы, м. б. сделано только путем некоторой абстракции, так как поперечная сила может иметь место только при наличии переменного момента. Поэтому изучение сдвига в чистом виде в результате действия поперечной силы Q следует рассматривать как иек-рое условное расчленение двух явлений, то есть сдвига и изгиба, по существу действующих всегда совместно. Явление чистого сдвига в элементарной частице тела м. б. все же представлено как результат одновременного действия растяжения и сжатия по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Явление чистого сдвига имеет также место и при кручении.

В результате чистого растяжения или сжатия два смежных сечения бруса, оставаясь параллельными, взаимно удаляются или приближаются, причем это относительное линейное перемещение обратно пропорционально т. наз. жесткости при растяженин-сжатпи. При изгибе два смежных сечения поворачиваются одно относительно другого, причем угол относительного поворота обратно пропорционален жесткости при изгибе. В кривом брусе явление осложняется тем, что нормальная сила вызывает дополнительный поворот смежных сечений, а изгибающий момент их дополнительное сближение или удаление. Как сжатью или растя жению, так и изгибу соответствует линейная деформация волокон, параллельных оси бруса. Соответственно этим деформациям в сечениях, нормальных к оси бруса, возникают внутренние силы—нормальные напряжения (смотрите), которые уравновешивают действие нормальной силы на сечение. При растяжении-сжатии напряжения эти распределяются при отсутствии резких изменений в сечениях бруса равномерно по сечению, при изгибе же напряжения растут пропорционально расстоянию от той оси, относительно которой происходит изгиб. В случае резкого изменения сечения бруса напряжения распределяются по более сложному закону, и задача становится неразрешимой методами М. с. Величину напряжений находят, исходя из гипотезы плоских деформаций. Для брусьев малой кривизны предположению, что плоские сечения остаются плоскими и после деформации, соответствует и допущение того, что нормальные напряжения изменяются по сечению по закону плоскости (закон Навье). В результате сдвига два смежных сечения перекашиваются одно относительно другого. Величина этого перекоса обратно пропорциональна т. н. жесткости сечения при сдвиге. Соответ. ственно этому перекосу в сечении возникают тангенциальные напряжения. Эти напряжения распределяются по сечению неравномерно. Закон их распределения излагается в теории изгиба. В некоторых случаях (например при расчете заклепок на срез, врубок на скалывание) распределение тангенциальных напряжений чисто условно принимается равномерным.

При кручении бруса два смежных сечения поворачиваются или закручиваются одно относительно другого вокруг оси бруса. Угол закручивания при кручении обратно пропорционален так паз. жесткости при кручении. Явление кручения в курсах сопротивления материалов рассматривается обычно только для бруса круглого сечения, в отношении которого можно считать, что плоские сечения остаются при малых деформациях плоскими и после закручивания бруса на определенный угол. Деформация кручения в этом предположении сводится к повороту одного сечемм относительно другого вокруг оси бруса, то есть к относительным сдвигам точек сечений; напряжения при кручении следовательно являются напряжениями тангенциальными. Величина сдвига, а следовательно и напряжения, при кручении бруса круглого сечения пропорциональна расстоянию данной точки сечения от оси. Значение этого напряжения находят, исходя из условий равновесия сил внешних и внутренних, приложенных к сечению. При кручении стержней некруглого сечения поперечные сечения стержней перестают быть плоскими. В отношении таких стержней элементарные методы М. с. не могут дать точного решения. Поэтому обычно курсы М. с. ограничиваются приведением для ряда сечений готовых значений напряжений я углов закручивания, полученных или путем применения методов теории упругости или путем экспериментального исследования. Некоторые курсы М. с. излагают исследование стержней эл липтических и прямоугольных. К более углубленным методам расчета, чем те, которыми обычно располагает М. с., приходится прибегать и при исследовании тех напряжений, которые возникают в результате резких изменений сечений по длине бруса,. подвергнутого кручению.

Помимо напряжений, возникающих в сечении в результате действия на него совокупности сил, лежащих вне сечения, в брусе возникают напряжения и от действия на элемент нагрузки, расположенной непосредственно в данном сечении. Напряжения, возникающие в результате такой нагрузки, называются местными. Точное нахождение величины этих напряжений не м. б. получено методами М. с., но в простейших случаях приближенное решение м. б. получено и элементарным путем.

Исследование каждого из чистых явлений, то есть чистого растяжения-сжатия, сдвига, изгиба и кручения, позволяет, пользуясь принципом независимости действия сил, изучить и комбинированные, или сложные явления, то есть .сочетания двух или более чистых явлений. Из таких сложных явлений прежде всего излагается явление изгиба бруса системой сил, лежащих в плоскости оси бруса и параллельных одной из главных осей инерции сечения. Случай этот представляет собой сочетание действия на брус изгибающего момента и поперечной силы. К числу комбинированных явлений надо отнести и случай косого изгиба, то есть изгиба, при к-ром вектор изгибающего момента не совпадает с одной из главных осей инерции сечения. Случай этот может рассматриваться как совместное действие двух чистых изгибов относительно каждой из главных осей сечения. Более сложным является случай, к-рый имеет место при действии на сечение силы, параллельной оси бруса, но не проходящей через ц. т. сечения. Этот случай, называемый иногда в курсах М. с. неравномерным сжатием, а иногда общим случаем действия сил, приводится к совместному действию двух чистых изгибов и чистого растяжения-сжатия. Наконец в курсах М. с. излагается и случай комбинированного изгиба и кручения. В тех случаях, когда в результате сложного сопротивления бруса в его сечениях, нормальных к оси, возникают как нормальные, так и тангенциальные напряжения, необходимо бывает для суждения о прочности подвергнуть исследованию и т. н. косые напряжения. Это наименование дается напряжениям, имеющим место в площадках, наклоненных под нек-рым углом к сечению, нормальному к оси бруса. Величины этих напряжений меняются в зависимости от указанного угла наклона площадки. Максимальные и минимальные значения косых нормальных и косых тангенциальных напряжений носят название главных нормаль-ныхи главных тангенциальных напряжений. Для того чтобы судить по найденным деформациям и напряжениям о необходимых размерах проектируемого сооружения или о запасе прочности в сооружении существующем, необходимо знать, каким значениям напряжений или деформаций или сочетаниям их соответствует появление в мате риале явлений, признаваемых недопустимыми. Для тел пластических этими недопустимыми явлениями будет появление оста- ; точных деформаций, для тел хрупких—разрушение. В виду того что природа и механизм появления остаточных деформаций и механизм разрушения в реальных телах отличаются, с одной стороны, сложностью, а с другой, зависят в некоторой степени от обстоятельств, трудно поддающихся анали-тическ. учету, приходится при определении прочности исходить из той или иной рабочей гипотезы прочности, наиболее близко отве-чающ и свойствам данного материала. Эти рабочие гипотезы носят название теорий прочности (смотрите).

Имея в своем распоряжении методы на, хождения деформаций в любой точке оси, возможно определять также и перемещения в исследуемом брусе. При растяжении или сжатии эти перемещения будут результатом удлинения или укорочения соответствующего участка оси бруса и м. б. найдены в общем случае путем интегрирования выражения удлиненного элемента ds оси бруса. При кручении перемещение имеет угловой характер ; и измеряется углом закручивания по длине рассматриваемого участка. Этот угол закручивания м. б. найден как интеграл от выражения элементарного угла закручивания на длине элемента ds оси закручиваемого бруса. Перемещения при действии изгиба возникают в результате того, что ось бруса в деформированном состоянии в каждой точке получает определенное изменение кривизны, в результате чего прямой например брус становится кривым. Очертание оси бруса, в деформированном состоянии носит название у п-ругой линии. Теория изгиба доказывает, что в отношении бруса малой кривизны дополнительная кривизна в любой точке бруса прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости при изгибе. Нахождение ординат упругой линии следовательно сводится к чисто геометрии. задаче нахождения ординат кривой, форма которой определяется известным законом изменения кривизны, а положение в плоскости—заданными направлениями перемещения опорных точек. Направления этих перемещений определяются характером опорных закреплений. Задача нахождения ординат упругой линии значительно упрощается тем, что представляется возможным (в виду того, что М. с. ограничивает свою задачу лишь случаями малых перемещений) приравнивать кривизну бруса, получающуюся в результате изгиба, второй производной от выражения прогиба бруса. Интегрирование производится отдельно на каждом участке бруса, имеющем свой закон изменения кривизны. Число произвольных постоянных, возникающих при нахождении значения у в процессе такого двукратного интегрирования, будет следовательно равняться удвоенному числу имеющихся участков. В таком виде соотношение между кривизной, выражаемой через изгибающий момент бруса и жесткость сечения, и ординатами упругой линии или прогибом носит название диференциальиого ур-ия упругой линии. Основываясь на этой диференциаль-

ной зависимости между моментом и прогибом, нахождение ординат прогиба можно делать аналитически, графически или графо-аналитически. Аналитич. решение сводится к двукратному интегрированию выражения кривизны и определению произвольных постоянных интегрирования, исходя из условий опорных закреплений и т. н. условий на границах каждого участка, на к-ром кривизна имеет свой особый закон изменения.

Графич. и графо-аналитич. методы основаны на имеющей место определенной аналогии между изгибающими моментами, поперечными силами и нагрузкой, с одной стороны, и ординатами упругой линии, тангенсами углов .наклона касательных к ней и кривизнами—с другой. Эта аналогия заключается в том, что значение поперечной силы,с одной стороны, и тангенсов углов наклона, с другой, являются соответственно первыми производными от значения моментов и прогибов, а значение нагрузки и значение кривизны—вторыми производными от тех же величин. Ыа основании этой аналогии представляется возможным тангенсы углсв наклона балок находить как поперечные силы, а прогибы—как моменты от условной нагрузки, действующей на условное сооружение, причем за условную нагрузку принимается эпюра кривизны, за условное же сооружение берут такое, в котором имеется заделка там, где у действительного бруса— свободный конец, свободный конец—там, где у действительного бруса имеется заделка, а шарнир—там, где у действительного сооружения имеется шарнирная опора.

Все указанные выше разделы М. с. относились к системам, представляющим собой один брус или стержень. Комплексу этих разделов обычно дается название «сопротивления материалов». Комплексу же разделов, трактующих о сооружениях, представляющих собой сочетание нескольких стержней, присваивают название «статики сооружений». Такие сооружения м. б. подразделены на шарнирно-стержневые системы, или фермы (смотрите), и на сооружения с жесткими узлами, иначе рамы (смотрите). Рамы в большинстве случаев являются системами статически неопределимыми и рассматриваются в разделах, посвященных этой группе сооружений. Главную же задачу статики сооружений в части, касающейся статически определимых систем, составляет расчет ферм. Расчет этих последних основан на замене действительного сооружения с жесткими узлами условной расчетной схемой, построенной в предположении наличия идеальных, то есть работающих без трения, шарниров во всех узловых соединениях. Нагрузка в отношении такой схемы принимается приложенной в узлах системы. Нагрузку, приложенную вне узлов, раскладьшают на составляющие, приложенные в узлах, и дополнительно учитывают местный изгиб того элемента, в пределах которого расположена нагрузка. Плоская статически определимая ферма, представляющая один жесткий диск, при общем числе узлов к должна иметь внутренних стержней п=2к—3. Для статически определенного прикрепления к земле такого жесткого диска необходимо иметь еще три опорных стержня. При таком числе стержней геометрически неизменяемая система представляет собой и статически определимую систему. При большем числе стержней система будет статически неопределимой. При меньшем числе система превращается в геометрически изменяемое сочетание стержней. Часть внутренних стержней м. б. заменена. таким же числом соответственно расположенных дополнительных опорных стержней. Вследствие приложения нагрузки только в узлах фермы и предположения об идеальности шарниров в стержнях, составляющих ферму, в элементах будут иметь место только нормальные силы или усилия. Для нахождения этих усилий применяют гра-фич., аналитич. и графо-аналитич. приемы. В случае неподвижной нагрузки графическое нахождение усилий в ферме производят путем построения диаграммы Кремона (смотрите Графическое определение усилии). Аналитическое определение усилий в фермах делается или методом сечений или методом вырезаний узлов (смотрите Фермы). В случае подвижной нагрузки для нахождения величины усилий в элементах фермы пользуются ин-флюентными линиями этих усилий. Построение этих пнфлюентных линий основывается на тех же методах сечения или вырезания узлов (смотрите Линии влияния).

Определение прогибов в шарнирно-стержневых системах м. б. сделано методом упругих грузов (смотрите Графическое определение перемещений) или же применением основных теорем о перемещениях. Эти основные теоремы о перемещениях распространяются как на системы сплошные, так и сквозные и могут рассматриваться как обобщение начала возможных перемещений Лагранжа на упругое тело. В этом обобщенном виде теорема Лагранжа обнимает собой работу как внешних, так и внутренних сил системы. При этом за возможную систему перемещений для данной системы сил принимается такая, которая возникает в данном сооружении в результате упругой деформации его под действием любой другой воображаемой системы сил. Т. о. за виртуальные перемещения для внешних сил принимаются не бесконечно малые, а конечные, хотя и очень малые, перемещения, являющиеся результатом упругой деформации тела. Силы действительного и воображаемого состояния считаются приложенными к оси бруса в ее недеформи-рованпом состоянии, что является допустимым постольку, поскольку перемещения действительного состояния являются относительно весьма малыми величинами по сравнению с общими размерами тела. Для нахождения в действитэльном состоянии линейного или углового перемещения в направлении т—т точки т какого-нибудь сооружения в воображаемом состоянии по этому направлению прикладывают к сооружению силу Р=1, причем под силой Р здесь понимают как собственно силу, так и момент, если определяется угловое перемещение. Тогда из условия равенства нулю работы сил внешних и внутренних воображаемого состояния па пути внутренних и внешних перемещений действительного состояния,для искомого перемещения получается для нахождения пе ремещения выражение, носящее название ф-лы Мора или Максвелла-Мора. Для нахождения относительных перемещений в воображаемом состоянии прикладываются к системе групповые единичные нагрузки, то есть нагрузки, состоящие из двух единичных сил или пар, направленных по искомому относительному перзмещеншо. Для нахождения перемещений часто пользуются также теоремой Кастильяно. Нахождение перемеш -ний, согласно этой теореме, дающей зависимость между величиной перемещения и потенциальной энергией упругой деформации системы, по существу не отличается от определения перемещения методом Мора.

Распространение начала возможных перемещений на упругое тело позволяет также установить нек-рые весьма важные положения, известные как теорема о взаимности работ (Бетти) и теорема о взаимности деформаций (Максвелла). Первая из этих теорем обнимает собой общий случай действия на сооружение последовательно двух произвольных систем или, как принято говорить, случай двух состояний одного и того Яге сооружения. Согласно теореме Бетти работа внешних сил первого из таких состояний на пути перемещений второго состояния равна работе внешних сил второго состояния на пути перемещения первого (смотрите Взаимность перемещений). Теорема Максвелла может рассматриваться как частный случай теоремы Бетти, именно как тот, где и в первом и во втором состоянии к сооружению приложено по одной силе, причем силы первого состояния и второго равны между собой (взаимность деформаций). Согласно этой теореме перемещение в первом состоянии по направлению силы второго состояния равно перемещению во втором состоянии по направлению силы первого состояния. Аналогичные соотношения м. б. выведены также и для случаев, когда воздействиями являются не силы, а перемещения.

Методы нахождения перемещений и вышеуказанные теоремы Бетти и Мора позволяют производить расчет не только систем статически определимых, но и статически неопределимых, то есть систем, обладающих излишним числом связей внутренних или внешних против числа, необходимого для обеспечения геометрич. неизменяемости системы. При расчете таких сооружений необходимо для нахождения т. н. лишних неизвестных использовать в дополнение к ур-иям статич. равновесия также и ур-ия, вытекающие из рассмотрения картины деформации сооружения, определяемой характером избыточных связей. Как правило при расчете статически неопределимых систем вводят в рассмотрение т. н. основную систему. Эта система в общем случае получается из изучаемой путем отбрасывания нек-рого числа существующих в системе связей и введения в систему нек-рого числа дополнительных связей. По направлению каждой из отброшенных связей прикладываются силы, причем под силами в данном случае понимают как собственно силы, так и моменты. По направлению же вновь введенных связей системе даются перемещения линейные или угловые. Силы эти и перемещения принимаются за неизвестные, для нахождения которых составляют столько дополнительных ур-ий, сколько имеется неизвестных сил и перемещений вместе взятых. Если основная система получена из изучаемой путем отбрасывания п имеющихся связей и введения т новых дополнительных связей, то общее число неизвестных будет равно п+т. Для нахождения этих перемещений используют п условий равенства нулю перемещений по направлению неизвестных сил и m условий равенства нулю усилий по направлению т введенных дополнительных связей. По закону аддитивности воздействий каждое из указанных равных нулю перемещений по направлению неизвестных сил м. б. представлено как сумма перемещений от действия на основную Систему нагрузки неизвестных сил и перемещений в отдельности. Также каждое равное нулю усилие по направлению вновь введенных связей м. б. представлено как сумма усилий от нагрузки, неизвестных сил и неизвестных перемещений. Ур-ия, составленные на основании этих соображений, носят название канонических ур-ий. Если основная система получается из изучаемой системы только путем отбрасывания связей без введения новых, то все неизвестные будут силами. Этот метод носит название м е-тода сил. Обычно при этом число отброшенных связей равняется числу лишних и избыточных связей системы. Полученная т. о. основная система носит название основной статически определимой системы. Если основная система получается из изучаемой только путем введения новых связей, то все неизвестные будут перемещениями. Такое решение носит название метода пе-реме-щ е и и и или деформаций. Наконец метод, при к-ром за неизвестные приняты как силы, так и перемещения, м. б. назван .смешанным методом. В зависимости от конфигурации сооружения и характера нагрузки выбирают тот из методов решения, те из неизвестных и наконец те из методов решения системы ур-ий, которые в данном частном случае должны дать решение наиболее короткое и сопряженное с наименьшим накоплением арифметич. погрешностей. После того как путем разрешения вышеуказанной системы ур-ий определены все лишние неизвестные, любые величины усилия или перемещения в изучаемой системе м. б. вычислены по ф-ле, согласно принципу независимости действия сил, как сумма усилий или перемещения от каждой силы или перемещения в отдельности. Ряд методов расчета статически неопределимых систем, как то: методы фокусов, угловых фокусов, не являются непосредственно частным случаем применения канонич. ур-ий, но находятся с этим методом в определенной косвенной связи.

К вводным или особым главам сопротивления материалов обычно относят разделы, посвященные неустойчивым формам равновесия и динамич. нагрузке. Из неустойчивых форм равновесия в М. с. обычно ограничиваются рассмотрением продольного изгиба. Это явление заключается в том, что при центральном сжатии прямолинейного стержня при значении сжимающих сил, превышающем нек-рую критич. величину, становятся тео-ретич. возможными, кроме формы равновесия с сохранением прямолинейности оси стержня, также одна или несколько форм равновесия с изогнутой осью. Однако вероятность всех кроме одной теоретически возможных форм равновесия, в том числе и прямолинейной формы, равна нулю. При этом явления в брусе при сжимающих силах, превышающих критич. значение, имеют кятастрофич. характер, даже если и не будет иметь места разрушение стержня, т. к. ничтожному возрастанию нагрузки будет соответствовать весьма большое" возрастание перемещений. Определение критич. грузов для стержней, загруженных по концам, дано еще Эйлером. Однако на практике к определению критич. нагрузок обычно не прибегают, а вводят при расчете сжатых стержней некоторый коэф. ослабления допускаемых напряжений. Таблицы или кривые изменений этих коэф-тов нормируются .соответствующими органами, причем при составлении таких норм руководствуются также и конструктивными соображениями. К вводным главам сопротивления материалов следует также отнести разделы, посвященные динамич. действию нагрузки. Эти отделы обычно заключают в себе рассмотрение напряжений в движущихся стержнях в результате действия сил инерции, а также рассмотрение явлений при колебании систем и ударном действии на систему нагрузки.

К особым главам статики сооружений обычно относят исследование сыпучих тел. В этом разделе дисциплины, подобно тому как в отношении твердых тел, принимается условная гипотеза идеальности свойств этого тела; при рассмотрении сыпучих тел действительные сыпучие тела заменяются сыпучими телами идеальными. В отношении такого идеального сыпучего тела предполагают, что силы сцепления между его частицами полностью отсутствуют и что размеры самих частиц являются величинами весьма малыми. Далее, при определении давления на подпорную стенку такого сыпучего тела предполагается, что эта подпорная стенка находится в состоянии предельного равновесия. Задача этим предположением сводится к рассмотрению равновесия призмы обрушения сыпучего тела в момент ее предельного равновесия. Для разрешения этой задачи дополнительно вводят гипотезу, что поверхность обрушения этой призмы есть плоскость. При этом ищут не действительную величину давления на стенку, а максимально при сделанных предположениях возможную. В более сложных случаях, например в случае ломаной стенки, приходится еще прибегать к ряду дополнительных предположений и допущений, находящихся иногда в значительном противоречии с действительными явлениями в сыпучих телах.

Лит.: Проскуряков Л., Строит, механика, ч. 1, 7 изд., М.—Л., 1928, ч. 2, М— Л., 1926; Велихов П. А., Теория инж. сооружений, вып. 1, М., 1924; Прокофьев II. П., Теория сооружении, ч. 1—2, Ы., 1926—28; Тимошенко С. П., Курс сопротивления материалов, 6 изд., М.—Л., 1928; Кирпичев В. Л., Сопротивление материалов, ч. 1—2, М.—П., 1923; Д р у ж и я и н С. И., Теория сопротивления материалов, ч. 1—2, П., 1923;

Руднев В. И., Строит, механика, М.—Л., 1928; Кирпичев В. Л., Основания графич. статики, 5 изд., М.—Л., 1924; Гвоздев А. А., Общий метод расчета статически неопределимых систем, М., 1927; Ж ем очкин Б. Н., Расчет рам методом угловых фокусов, М.—Л., 1929; его же, Расчет статически неопределимых систем, Способ угловых деформаций, М.—Л., 1928; Стрелецкий Н. С., К расчету сложных статически неопределимых систем, М., 1922; Гелер В., Жесткие рамы, пер. с нем., М., 1928; Тимошенко С. П., Курс статики сооружений, ч. 1, Л., 1926; Велихов II. А., Краткий курс строительной механики, М., 1927; Белеяюб-с к и и Н. А., Строит, механика, СПБ, 1897; Ф илон е н к о-Б о р о д и ч Μ. М., Основы теории работы упругих сил в плоских системах, М., 1925; Kirch-ii о f f R., Die Statik d. Bauwerke, 2 Aufl., В. 1—2, Berlin, 1928; Strassner A., Berechnung statisch unbestimmter Systeme, В. 1, 2 Aufl., Berlin, 1929, B. 2, Berlin, 1921; F о p p 1 A., Vorlesungen uber teclmi-sche Mechanik, В. 1, 8 Aufl., B.—Lpz., 1925, B. 2, 7 Aufl., B.—Lpz., 1926; Pirlet J., Compendium der Statik der Baukonstruktionen, B. 2, T. 1—2, B., 1921—23; Levy M., La statique graphique, partie 1, Paris, 1907, partie 2, Paris, 1913, partie 3, Paris, 1918, partie 4, Paris, 1888; Mohr O., Abhandlungen auf dem Gebiete der technischen Mechanik, 3 Auflage, Berlin, 1928. H. Щапов.