> Техника, страница 62 > Минимальные поверхности
Минимальные поверхности
Минимальные поверхности. Начало теории М. п. положено в 17G0 г. мемуа-ром Лагранжа. Лагранж ставит такую задачу: из всех поверхностей, проходящих через данный замкпутый контур (Г) в пространстве. выбрать ту, кот рая обладает наименьшей площадью. Эту поверхность с наименьшей площадью Лагранж и называет минимальной: она дает следовательно наименьшее значение интегралу:
J JVl + р2 + q2 dxdy,
(Г)
где
dz
dx
dz
= Р “ 35“ ?
Лагранж показал, как, исходя из этого свойства, найти диференциальное ур-иеМ.п. Оно имеет вид:
(1 + q2)r-2pqs + (1 + ρ2)έ=0; (1)
здесь
d2z _. dtz_ _ d2z _, dx2 — Г’ dxdy ’ dy* ‘
Из этого ур-ия следует, что сумма главных радиусов кривизны М. п. в каждой точке равна нулю (Менье, 177G г.). К числу простейших М. п. принадлежат: винтовая по верхность: г=arc tg, катеноид:
i I _|V
=Л V/+e 7. поверхность Шерка: е
У* + г2 =
dZ COStt^C
~cosay
Ур-ие (1) было проинтегрировано впер-, вые Мэнж -м (1784 г.). Решение Монжа было усовершенствовано Лежандром, Бьерлингом и нкоторыми др., но особенно многим теория М. п. обязана Вейерштрассу; он впервые вполне отчетливо указал на ту связь, которая существует между теорией М. п. и теорией функций. Согласно Вейерштрассу, всякая аиалитич. ф-ия определяет нек-рую М. п. С теорией М. п. связано решение задачи Плато о форме мыльной пленки, проходящей чррез металлич. контур (Г). Решение ее достигается выбором того интеграла уравнения (1), который проходит через данный контур (Г). Эта задача, требующая применения всех наличных ресурсов мате-матпч. анализа, в настоящее время решена только для контуров самого простейшего вида. Решением этой задачи занимались Ри-манн, Вейерштрасс, Шварц и др. По своей связи с самыми разнообразными частями математики теория М. п. является одной из наиболее интересных глав математического анализа.
На свойствах М. п. основаны выводы т е-ории капиллярности (смотрите Капиллярные явления) о форме поверхности жидких тел, принимаемой ими под действием поверхностного натяжения (смотрите).
Лит.: D а г b о и х G., Theorie des surfaces, t. f, Paris, 1914; В i a n c h i L., Vorlesungen uber Differen-tialgeometrie, 2 Aufl., Lpz., 1910.