> Техника, страница 65 > Непрерывные дроби

Непрерывные дроби

Непрерывные дроби, конечные или бесконечные дроби вида где b₀, b_t, Ь₂. и a_t, а_г, а₃, .—целые числа; в частности а₁=о_а= .= 1, а Ь₀ может равняться 0. Пусть х—положительное действительное число (рациональное или иррациональное). Его можно представить в виде:

ж=Ьо + *_Т> (О

*^V1

*И

1. Далее id, > 1

где 0 — целое число,

представим в виде

Xi=h + ^. (2)

где Ь, >1—целое, ¹ <1. Продолжая далее, *2

имеем:

где b_п > 1—целое, ния (2),. (3),.

х=Ь₀ + -

х_п=К 1

(3)

*/1+1

Я«+1

<1. Вставляя значе-

в (1), получим Н. д. ь 1+

(4)

ь, +

·+

конечную или бесконечную. Целые числа b₀, Ь„ ., b_п называются неполными частным и. Если х рациональное число х=А-, то неполные частные получаются методом последовательного деления (алгоритм Эвклида): делим А на Ар. пусть будет частное Ь₀ и остаток А»; А.=А,Ь₀ + Ар, далее делим А_г на А_г—частное остаток А₃ и т. д. Так как остатки все время уменьшаются, то после конечного числа шагов деление произойдет без остатка: А„=A„+ib„. Отсюда

^х=bо + £=b₀ + 1=Ь 0+ ₊V-“

«1 +

= b₀ +

A,

1

я»

bi+ „ +.

Таким образом рациональное число разлагается вконечную Н. д, и обратно, проделав все действия в конечной Н. д., получим рациональное число.

Разложим теперь в Н. д. иррациональное число/2, выделяя каждый раз целую часть:

/2=1 + ^г 1

2-1

-=/2+1=2·

2-1

= 2 +

*4

(3)

Получается бесконечная Н. д.:

/2=1+ ¹ -

2+---

²⁺—1 ²⁺2+··.

В теории Н. д. большую роль играют подходящие дроби. Если в Н. д. (4) ограничимся одним, двумя,. п неполными частными, получим 1-ю, 2-ю, ., п-ю подходящую дробь:

Pt i, bo. Ра _ i, J__ bobi + 1. ς~₁”ΐΤ·⁼ Τ’ Яг~ ° ⁺ b, Ь, >

Рз i, г 1 (bob} 4- l)b₂ + b₀

«1^{= V}

Вообще

bi +

Ь ιΐ>2 + 1

Pm _ Ри-ibw-i + Pm—2.

Qn Qn—ibn-i + Qn—2

Подходящие дроби дают приближения истинного значения Н. д., притом нечетного порядка—по недостатку, четного—по избытку. Так, подходящие дроби для Н. д. (5): Pl ¹. Ps _ i i ¹ ₌ 3 _, г. Рз ₌ 3·2 4-1 βι⁼ 1 ’ Яг ^{2 2} ’ ’ «з 2 · 2 1

7 + +. Р4 7.24-3 17 ₁₄₁₆₆..

_{= 14}. Pt^SH+S,

5 ’’ Я, 5-2 + 2

I²

будут приближенными значениями /2. II. д. применяются для вычисления логарифмов, для приближенного интегрирования и прочие.

Лит.; Серре II., Курс высшей алгебры, пер. с Франц., СПБ, 1897; М а р к о η А., Исчисление конечных разностей, Одесса, 1910; Perron О., Oie Lelire von <1. Kettenbriiclien, Lpz.—В., 1913. В. Степанов.