> Техника, страница 65 > Несоизмеримые числа

Несоизмеримые числа

Несоизмеримые числа, иррациональные числа. Н. ч. встречались еще у греков. Эвклид (330—275 л. до нашей эры; впервые дает своим учением о пропорциях по тому времени строгое обоснование Н. ч. При решении простых геометрических задач, как например проведение диагонали квадрата, оказалось, что величина этой диагонали несоизмерима с его стороной, то есть на какое бы большое число равных частей мы ни разделили сторону квадрата, откладывая эти части на диагонали, мы покроем пе либо с избытком либо с недостатком. Реальное существование несоизмеримых величин и повлекло за собой создание отвлеченной меры таких величин, то есть несоизмеримых чисел. Современный взгляд на Н. ч. принадлежит Дедекинду (конец 19 в.). Все рациональные числа, то есть дроби вида £ (где р и q—целые числа), разбиваем на два 1слас-са, такие, что: 1) все числа первою класса меньше всех чисел второго класса; 2) первый класс не имеет наибольшего числа, второй не имеет наименьшего числа (отсюда менаду прочим следует, что существуют числа: одно из 1-го класса, другое из 2-го класса, разность между которыми произвольно мала). Это разбиение, или сечение, определяет (единственное) Н. ч., к-рое как бы заполняет промежуток между двумя классами. Рациональные и Н. ч. в совокупности называются действительными чи. Они образуют непрерывное множество (континуум), кото-рое вследствие непрерывности отображается на всю прямую линию—числовая прямая.

Пример. Известно, что рационального числа, квадрат которого был бы равен 2, не существует. Разбиваем все рациональные числа на два класса, относя к 1-му все отрицательные числа, нуль и все те положительные числа, квадраты которых < 2, и ко

2-му классу те положительные числа, квадраты которых > 2. Тогда сечением будет число, квадрат которого равен 2, т. e. J/2. Этому числу, введенному как сечение, соответствует реальная величина—диагональ квадрата со стороной 1.

Простейшие Н.ч.суть неизвлекаемые радикалы и корни (решения) квадратных ур-ий и ур-ий высших степеней. Такие числа— алгебраические Н. ч. Существуют кроме них трансцендентные II. ч., не являющиеся корнями алгебраич. ур-ий с рациональными ко-эфипиентами, например π (отношение длины окружности к диаметру) и е (основание неперовых логарифмов). Мы показали на примерах реальность введенных нами Н. ч. (сечений). Однако при практич. вычислениях и измерениях мы пользуемся исключительно рациональными чи, т. к. на практике употребляется разложение числа в десятичную дробь, и притом ограничиваются несколькими первыми десятичными знаками, тогда как для Н. ч. разложение в десятичную дробь всегда бесконечно (и притом непериодично).

Лит.: Dcdekind R., Stetlgkeit und Irrationale Zahlen, 5 Aufl., Brschw., 1905 (есть русский перевод: Непрерывность и иррациональные числа, 3 изд., Одесса, 1914); Bach m a η η I*., Vorlesimgen iiber die Natur d. Irrationalzahlen, Lpz., 1892; Dantsher V., Vorlesungen iiber die Weierstrasssche Theorie d. ir-rationalen Zahlen, Lpz., 1908. в Степанов.