> Техника, страница 68 > Ортогональные функции
Ортогональные функции
Ортогональные функции, система функций
φ0(χ), ψ^Χ), φ2(χ), ., φ*(Χ),. (1)
конечная или бесконечная, определенная в промежутке (а, b), удовлетворяющая следующему условию: ь
Jр(х) φ,„(χ) φ„(χ) dx=0 при т Ф п, (2)
а где р{х)—не отрицательная и интегрируемая в смысле Римана ф-ия в промежутке (а, Ь). Эту ф-ию р(х) мы будем называть, следуя Стеклову, характеристической (нек-рые нем. авторы называют ее Belegungs-funktion). В частности характеристич. ф-ия может равняться 1. Если система ф-ий (1) является ортогональной, то очевидно и ряд функций
ρ(χ) φ0(χ), Vp{X) <рх(х), ., Vp(x) rpk{x),. (3) образует ортогональную систему.
Нетрудно убедиться, что
1, cosх, cos2x, ., coshx,. (4)
оптогональная сисуема ф-ий в промежутке (0, л) по отношению к характеристич. ф-ии р(х)=1, то есть
π
J cos тх cos nxdx=0 при т ф η. (5) о
Точно так же система ф-ий
sinx, sin2x,., sin kx,. (6)
удовлетворяет условию ортогональности в том же промежутке (0, л) и по отношению к той же характеристич. ф-ии.
Одновременно с условием (2) ортогональности ф-ий рассматривают условие ь
JР(х) 9>n(z) dx=1 при т=п; (2)
а система ф-ий (1), удовлетворяющая этому условию (2), называется нормальной. Так, ортогональная система ф-ий (4) м. б. сделана нормальной, если ввести для этих функций постоянный множитель ск и определить его из условия (2); получаем ортогональную и нормальную систему ф-ий
νι.νι°™, У~1 cos2x,. ,у~1 cos кх,. ,(4)
При замене х через arc cos у (а > 0) система ф-ий (4) обращается в’
УI, УIcos arc cos J-j, Уl cos2 arc cos va
cos fc arc cos д,., (7)
когда x изменяется от 0 до л, переменное’ у будет изменяться от -fa до —а. Ф-ии (7) являются полиномами Чебышева степени к от
”, пропорциональными полиномам, наиме-
нее^уклоняющимся от нуля в промежутке (-а, 4-а). Обозначив эти полиномы через
Ткг преобразуем условие ортогональности ф-ий (4) к переменному у:
I Т»> (а) Т» (а)=0 при тФП
-а * "
отсюда видно, что полиномы (7) образуют ортогональную систему ф-ий в промежутке (—а, + а) по отношению к характеристической ф-ии
Р(К)=-7===*
К а- —
Очевидно полиномы Чебышева образуют нормальную систему ф-ий.
Условие ортогональности ф-ий (С)
f sin тх sin пх dx=0 при т φ п о подстановкой y=cosx представится так: -1
I .--Sill m arc cos у sin njire cs у, _q
J J sin arc cos у sin arc cos у ·
-1
откуда видно, что ф-ии вида
, _ sin k arc cos х Тк 00 — ск sjn arc cos х
являются ортогональными в промежутке (—1, +1) по отношению к характеристической ф-ии р{х)=vi -Г X2
и нормальными.
Возьмем линейное однородное ур-ие:
(Ι-Χ^ + ία-β-ία + β)^^
+ η (η - 1 + а + β) у=0, (8)
где а и β—любые положительные постоянные, a п—целое число. Введем полином /„(а, β, х) п-й степени, коэф-ты которого а1г а, ., а„зависят от параметров а и β:
1п (α, β, х)=хп + diхn_1 +. + а „-i х + а„. < Определим эти п коэф-тов при помощи ур-ий:
J р(х) 1Н (а. β, х) dx=О -1
J р(х) 1п (а, β, х) х dx — О
-1
j р(х) 1„ (σ. β. х) хг dx=О -1
(9)
-1
J р(х) 1„ (а, β, x)xn~ dx=О -i
где р(х)=(1 + х)" 1 (1 —х)Р~1. Умножая каждое из уравнений (9) на произвольные постоянные и складывая, получаем ур-ие -1
J РО) 1„ (“, β, х)Рп-1 (х) dx=0, (10)
-1
заменяющее ур-ия (9) и вполне определяющее полином Ιη(α,β,χ); в этом ур-ии P„^i(x)— произвольный полином (п- 1)-й степени. Можно показать, что всякому целому числу п и данным значениям параметров а и β отвечает полином Ιη(α, β, х), являющийся частным интегралом дифёренциального ур-ия (8); общий же интеграл получается квадратурой при помощи этого полинома. Придавая η значения 0,1, 2,., п, получаем бесчисленное множество полиномов соответствующих степеней; эти полиномы называ ются полиномами Якоби (гипергеометрическими). Из определения полиномов Якоби ур-ием (1и) следует:
+1
J (1 -г а:)а_1(1 - χ)β~ 1т{а, β, х) Ιη(α, β, x)dx=9
-i
при тФ п, откуда видно, что полиномы Якоби образуют ортогональную систему ф-ий в промежутке (-1, +1) по отношению к ха-рактеристич. ф-ии р(х)=(1 + ж)а_1(1 — χ)β-
Полагая α—β=1, получаем из Ιη(α,β,χ) полиномы Лежандра Рп(х) (смотрите Лежандра полиномы), удовлетворяющие ур-иям
(1-х“)^-2х«Ух + п(.п + 1)у~0·,
следовательно эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности в промежутке (—1,+1) с характеристич. ф-ией р(х)=1. Тригонометрич. полиномы Чебышева могут быть получены из ур-ия (8) при а=/?=1/а·
Ортогональные функции играют большую роль в вопросе разложения в ряды интегралов обыкновенных диференциальных ур-ий математич. физики. В. А. Стеклов ввел новые ф-ии, названные им ф у н д а м е н т а л ь-н ы м и, и выполнил это разложение по ортогонально-фундаментальным функциям.
Лит.: Стеклов В. А., Основные задачи математич. физики, ч. 1—2, II., 1922—23; Г а г а е в Б. М., К теории суммируемых ортогональных рядов, «Изв. Физ.-мат.об-ва», Казань, 1927—28; С т е к л о в В. А., К теории замкнутости систем ортогональных функций, зависящих от какого угодно числа переменных, «Изи. нмп. Академии наук», СПБ, 1911, вып. 10; Н а а г А., Zur Theorie d. orthogonalen Funktionsysteme, *Ma-them. Annalen», В., НПО, р. 69; Szego О., Beitrhge zur Theorie d.toeplitzschen Formen, «Mathem. Ztschr», B., 1920, B. G. 1921. В. 9; В о c h n e r S., Oherortho-gonalc Systeme analytischer Funktionen, ibid., 1922, В. II; B ergmanu St., Ober die Kntwicklung der harmonischen Funktionen d. Ebene u. d. Kaurnes naeh Orthogonalfunktionen, «Mathem. Annalen», Berlin, 1922, p. 86; Szego G., Entwicklung einer willkurlichen Funktion nach d. Polvnomen eines Orthogonalsyslems, «Mathem. Ztschr.», Berlin, 1922, B. 12: Szego G., Ober d. asymptotischen Ausdruck von Polynomen, die· durch eine OrthogonalHiitseigenschaft definiert sind» «Mathem. Annalen», Berlin, 1922, p. 86; Szego G., Cber orthogonale Polynome, die zu einer Kurve d. komplexen Ebene gehoren, «Mathem. Ztschr.», 1921, »; Walsh J. L., A Property of Haar’s System of Orthogonal Functions, «Mathem. Annalen», Berlin. 1923» p. 90; Franklin Ph., A Set of Continuous Orthogonal Functions, ibid., 1928, p. 100; Tamarkine J., Sur quelques points de la thfeorie des liquations· differentielles linOaires ordlnaires et sur la generalisation de la sCrie de Fouriers, «Rendiconti del Circolo Maternatico di Palermo», Palermo, 1912, v. 34; Planch e г с I, Sur la convergence des fonctions orthoeona-les, «CR». 1913, t. 157; II a a г A., Ober die Miiltip-likationstabelle d. orthogonalen Funktionsysteme, «Mathem. Ztschr.». B., 1930. В.1. Д. Колянковский.