Размерность

Размерность, форма зависимости какой-либо физии, величины от выбора единиц измерения. Так, если увеличить в ж раз единицу измерения длины и в η раз единицу измерения времени, то числовое выражение длины уменьшится в т раз, числовое выражение времени в п раз, площади в ж² раз, объёма в ж³, скорости в тгС¹, числовое выражение ускорения в тп² раз и т. д. Следовательно площадь имеет размерность квадрата длины, объём имеет размерность куба длины, скорость—размерность длины, деленную на размерность времени, ускорение—размерность длины, деленную на квадрат времени:

И=[1²], [7]=[ί³],

[«]- [IfЧ, [у]=[ΙΓ²];

равенство между величинами, помещенными в квадратные скобки, означает равенство ме-жду их Р. Эти ф-лы Р. сохраняют свою форму в любой системе измерения, т. к. они составлены с учетом физич. величин, входящих в выражение каких-либо законов природы, которым эти величины подчиняются. Имеются однако приведенные формулы Р., пригодные лишь для определенной системы измерения. Так например, по закону Кулона два электрические заряда q и q, помещенные в среде с диэлектрическим ко-эфициентом ε на расстоянии г, действуют друг на друга с силой

% W

Размерность электрического заряда (q) таким образом может быть выражена следующей ф-лой

[qf=[F] [IPM

или

[?]“ [l][F]* Μ“. (2)

Принимая во внимание, что сила равна произведению массы на ускорение, размерность силы можно выразить через размерность основных единиц массы длины и времени следующим образом:

[F]=[жГ²],

так что формула (2) размерности электрического заряда принимает следующий вид:

q]=[m* Г¹ ε^{]· (3)

Эта формула сохраняет свой вид для всякой системы измерения. В так называемой абсолютнойэлектростатической системе СGS, построенной на предположении, что диэлектрический коэфициент ε есть некоторое отвлеченное число, равное в пустоте 1 и не имеющее следовательно размерности, для [</] имеет место приведенная формула размерности

[?]=[m^J г¹ ί¹],. (4)

пригодная только в этой системе измерений. Подробные сведения о Р. физич. и технич. величин в различных системах измерения имеются в Спр ТЭ, т. I, стр. 16—17. Во многих случаях Р. обозначают символами, изображающими единицы измерения. Имеются две точки зрения. Одни считают символы, обозначающие единицы измерения просто сокращенными названиями этих единиц. Скорость » в 5 м/ск они обозначают следующей ф-лой|

V=5 м/ск, (5)

тз которой справа от знака равенства стоит отвлеченное число 5, показывающее, что данная скорость в δ раз больше выбранной единицы скорости м/ск. При этом настойчиво указывается, что обозначение единицы скорости в виде дроби есть только условность и что нельзя делить метры на секунды, то есть нельзя перемножать или делить друг на друга различные по своей природе величины. Этой точки зрения придерживалось большинство физиков прошлого столетия. В настоящее время все больше встречается приверженцев противоположной точки зрения, утверждающих, что м о ж-но делить метры на секунды, подобно тому как можно перемножать векторы, получая при этом новые геометрические величины. Для них формула (5) обозначает, что скорость ν равна 5, помноженным на 1 метров и деленным на 1 ск. Эта точка зрения особенно удобна в случаях необходи-•мости пересчетов с одной системы измерения на другую, например

1 ж=1(Г^{3 * 5} км; 1 ск.=.j“-4.;

о dUU

.поэтому

1 м/ск=ИГ³ км: —ж ч.=3,6 км/ч,

5 м/ск=5 · 3,6 км/ч=18 км/ч.

Вместо того чтобы вести расчет с символами величин, встречающихся в физич. ф-лах, можно считать непосредственно с единицами измерения. Наир, связь между зарядом q, емкостью с и напряжением и выражается •следующей ф-лой

[С]=[VF],

T. е. один кулон равен одному вольту,

умноженному на одну фараду,

или

1 хг-с=1 килограммх 9,81 ж · ек"²=10"³ то · 9,81 ж · с«Г²== 0,931 · 10² то · м · ск”²=0,981 -КГ² стэн

<при пересчете одного кг-силы в стэны). При изменении единицы измерения в ф-лах, выражающих законы природы или геометрии, соотношения, все величины в этих ф-лах, имеющие одинаковую Р., будут изменяться одинаковым образом. Поэтому весьма выгодно с самого начала так записывать эти •ф-лы, чтобы можно было выявить Р. всех величин, входящих в эти ф-лы. Тогда при всех преобразованиях ф-лы равенство Р. не должно нарушиться в одночленных ф-лах между правой и левой частью, а в многочленных ф-лах—между отдельными слагаемыми. Это соображение дает прекрасный способ проверки вычислений и позволяет лучше уяснить физическое значение отдельных коэфициентов. Так например, в формуле нагревания

&=А (1 - e~^at)

очевидно, что А—установившаяся ί°, а у_а— постоянная, имеющая Р. времени, т. н. постоянная времени. Соображения о размерности позволяют иногда определять структуру формулы. Так например, если предположить, что период колебания математического маятника Т—одночленная функция его массы то, длины I и ускорения земного тяготения д,

Т=Ст^х1^уд^г,

то, сравнивая размерности обеих частей №[»]*

получим

А ¹ 1

ж=0, у =_¥, я =

откуда

Т=С У¹·

Не следует однако думать, что Р. определяет физич. природу данной величины. Часто величины, имеющие совершенно различную природу, имеют одинаковую Р., наир, работа и момент силы. Отношение единиц элек-трич. зарядов в абсолютных системах CGS электростатической и электромагнитной равно как-раз скорости света. Это объясняется тем, что в одной системе искусственно сделана отвлеченным числом магнитная проницаемость, а в другой системе—диэлектрическая постоянная. Тем не менее отсюда нельзя делать никаких особых выводов о физическом смысле выбора этих абсолютных систем.

Лит.: Vallo t, Emde, Maurer u. Martens, Elektroteclmische Zeitsclirlft, Berlin, 1923, стр. 175—176, 520, 742. Я. Шпильрвйн.