> Техника, страница 76 > Расход жидкости

Расход жидкости

Расход жидкости, количество жидкости, протекающее в единицу времени через живое сечение того или иного потока жидкости. Под живым сечением потока жидкости следует понимать заключающуюся в пределах потока часть поверхности, ортогональной линиям тока (смотрите Гидравлика). Под потоком жидкости здесь подразумевается река, жидкость, движущаяся в трубе или в канале, или вообще струя жидкости. Поток жидкости— понятие элементарное. Если площадь живого сечения обозначить через со. а скорость движения жидкости вдоль произвольной линии тока через и, то расход Q м. б. выражен интегралом по поверхности живого сечения:

Q=f J и άω=I’ и άω;

ω ω

выражение такого вида в векторном анализе (смотрите Векторное исчисление) носит название потока вектора и через поверхность со; т. о. расход жидкости равен потоку вектора скорости через живое сечение. Для практич. приложений кроме трех основных диференциаль-ных ур-ий движения жидкости важно иметь дополнительные аналитические зависимости, среди которых в качестве основной характеристики движения жидкости признается так называемым уравнение неразрывности, непрерывности или сплошности движения, называемое иногда также уравнением постоянства массы.

В гидродинамике (смотрите) выводится диференциальное ур-ие i еразрывиости для несжимаемых панельных жидкостей в форме:

iu dv dv>

дх дг ’

где и. V и w — проекции скорости и на оси координат. В обозначен: ях векторного анализа диференциальное уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости м. б. написа. о так: div и=0,

где и—вектор скорости. Ур-ие выражает, что количество жидкости, вошедшее в произвольный сколь угодно малый объём пространства, равно вышедшему количеству из этого объёма ас, пространства. Дивергенция (расходо- ow,

вание, расхождение) _ч_

скорости равна нулю.Выделяя внутри двц-жущейся жидкости элементарную струйку ^

и ограничивая ее двумя сечениями пер- “•а пендикулярно линиям тока, вдоль которых построена струйка (фигура), получаем объём жидкости, для которого следовательно

div и=о.

Применяя к выделенному т. о. объёму теорему Гаусса fff div и dV=J* и άω,

где и—вектор (вообще любой, а в данном случае вектор скорости), V—объём, ограниченный поверхностью ω, получим (т. к. div и=0), что левая часть теоремы Гаусса для вектора скорости равна нулю, а следова

тельно и правая, выражающая поток вектора скорости через поверхность ω, также равна нулю:

Я

и άω=0.

Поток вектора скорости через боковую поверхность струйки равен нулю, т. к. скорость направлена вдоль боковой поверхности. Интеграл

Я

и άω сводится т. о. к двум потокам вектора скорости через площадки дсо, и <5а>2, причем, так как на одной из этих площадок скорость направлена внутрь объёма струйки, а на другой наружу, то один из этих потоков должен быть введен с обратным знаком. Таким образом

-ff_Uld*₁₊ff и₂ άω₂=0.

όωι δω₂

Скорость в сечении струйки м. б. принята постоянной для всех линий тока, пересекающих сечение, в виду бесконечно малых размеров последнего, следовательно скорости м. б. вынесены за знак интегралов, то есть

J J* Щ άω_χ=J Jи₂ άω₂, или Щ J* Jάω₁=U₂ я άω₂.

Я-¹ и я- соответственно равны

Интегралы

<5о>1

δω₂

площадкам δω_τ и <5а>₂, следовательно окончательно:

^ui 0Ш!=и₂ δω₂.

Произведение и · δω представляет собой расход жидкости вдоль элементарной струйки. Таким образом условие неразрывности заменяется условием постоянства расхода: и <5co=Const для всех сечений струйки. Если теорему Гаусса применить к потоку жидкости конечных размеров, например к потоку жидкости в трубе, а не к элементарной струйке, то, т. к. div и=0, имеют мест©, следующие равенства.

j* J* div и · dV=J* J* и άω=0;

я и άω м.б. разбит на три интеграла: первый—по бо ковой поверхности струи, второй и третий—по живым сечениям, ограничивающим рассматриваемый участок струи конечных размеров; интеграл J J и άω по боко вой поверхности струи жидкости равен нулю, так как на стенках трубы или канала или на свободной поверхности, ограничивающих поток жидкости, скорость каеательна к этим ограничивающим поверхностям или же равна нулю. Получаем, что сумма двух интегралов потоков векторов скоростей по живым сечениям равна нулю, то есть

- J* J*“ 1 + J j* άω₂=0,

ω₁ ω₂

J* J* tc_L άω₁=J j*^u2 J

ω₁ ω₂

здесь ω₁ и ω₂—площади живых сечений, ограничивающих участок струи, а щ и и₂—скорости в произвольных точках живых сечений. Так как при этом рассмотрении были взяты произвольные живые сечения потока жидкости, ίο J j и άω для любого живого се-

ω

чения равен такому же интегралу для другого любого живого сечения, или я м dm=Const.

Расход ‘ жидкости таким образом постоянен для всех живых сечений потока жидкости. Примем, что живое сечение потока жидкости представляет собою плоскость. В случае параллельного движения это соответствует действительности, а в других случаях может рассматриваться как некоторое приближение к ней. Обозначим: ω—площадь живого сечения, ν—средняя скорость движения жидкости через сечение. Расход Q всего потока жидкости может Сыть вычислен как произведение средней скорости на площадь живого сечения, то есть

Q=υ · ω.

Тогда имеем:

<3

dm=Const

для любого сечения всего неразрывного потока жидкости. Выражение v-ω определяет объём призматического (цилиндрического) тела, равновеликого объёму,

определяемому интегралом я«

da>. Уравнение нераз рывности со средней скоростью νω=Const или ι?ι«>ι==υ₂^ω2 имеет большое значение для решения практич. задач. Распределение скоростей п для различных струек в живом сечении зависит от режима движения жидкости. Так, в случае ламинарного движения в круглой трубе скорости и в .живом сечении распределяются по параболоиду вращения. Ур-ие этого параболоида

4ν

У²)>

где и—скорость струйки на расстоянии у от оси трубы, г—радиус трубы, г—гидравлич. уклон, g—ускорение силы тяжести и v —кинематический коэф. вязкости. Закон Пуазейля вытекает как следствие из указанной зависимости.

При турбулентном движении скорости в сечении распределяются по сложным законам (смотрите Ламинарное и турбулентное движение и Пульсация жидкости). О п р е д е-лен и е,расхода является основной задачей техники. В различных случаях применяются соответствующие, методы измерения расхода. Измерение расхода в реках и каналах составляет задачу гидрометрии (смотрите Гидрометрия,Гидрометрические приборы и Водослив). Для измерения расхода в трубах употребляются водомеры (смотрите) различного типа. Расход грунтовых вод определяется особыми методами.

Если приходится иметь дело с упругой жидкостью, то есть с газом или паром, то вследствие того, что при течении по трубам газ или пар может расшириться или сжаться, объёмный расход, постоянный для всех сечений капельной жидкости, не является величиной характерной для движения упругой жидкости.

Диферепциальное уравнение неразрывности также имеет другой вид для упругой жидкости, а именно: (Ιρ. fdu, dv, dw

dt

(du dv dw

^{+ 0}{дх ⁺ ду ⁺ дг) ~°’

de

где ρ—плотность в точке упругой жидкости, —пол ная производная от плотности по времепи, и, v и w— проекции на оси координат скорости и. В обозначениях векторного анализа ур-ие имеет вид:

4? + ρ div ш=о. at

Диферепциальное ур-ие неразрывности может быть написано и так:

, Г9(егр

st^н L ^αχ

де

9(ev) 0(ew)"|

ТГЙГ⁺~дГУ

0q

0.

При установившемся движении —=0, и ур-ие неразрывности получает вид:

д (qu) д (ρν) d(gw) _

~д^ + -дГ ⁺ ~дГ или то же в векторной форме:

div (ρη)=0.

Применяя к струе упругой жидкости теорему Гаусса, имеем:

Г J*div (ρ и)_{ dv — J Jρ и άω.

у ω

В виду того что 6ίγ(ρ w)=0, правая часть ур-ия равна н д.о:

я·

ρύάω=0.

Попрежнему поток ρ и через боковую поверхность струи равен нулю, ибо в точках боковой поверхности и или равна нулю или касательна к поверхности. Остаются два интеграла по живым сечениям ω_χ и ω₂, из которых один имеет знак, противоположный первому:

J* ρ и άω- J^ρ и άω=0,^!·

я—

ρ и άω.

cu, 0)_a

Если перейти к средней скорости и считать, что плотность ρ постоянна в данном живом сечении, то:

ei«l“l =e2V2<°2,

где ρι — средняя плотность в первом сечении, Vi— средняя скорость в первом сечении; ω₁—площадь первого живого сечения; ρ₂, υ₂—соответственно средние плотность и скорость во втором сечении; ω₂—площадь второго живого сечения. Т. к. сечения выбраны произвольно, то произведение ριχο постоянно для любого сечения, то есть

QV01=Const.

Это уравнение является практич. ур-ием неразрывности для упругой жидкости при установившемся движении. Произведение ριχ» представляет собою массу упругой жидкости, протекающей через живое сечение в единицу времени; эта величина м. б. назвала м а с-с о в ы м расходом. Для упругой жидкости т. о. массовый расход постоянен для всех сечений струи:

, Г единица массы 1 Μ =ρνω I _..- ____I·

Lединица времени,

Т. к. ρ=—, где у—уд. в упругой жидкости, 9

ускорение силы тяжести, то:

а а—

М--

9

- v <о=Const.

При постоянном 9 величипа уг-ω—Const; эта величина называется весовым расходом упругой жидкости; обозначим ее через G:

G=γνω.

Последняя величина играет основную роль при расчетах, связанных с движением газа или пара. G выражают обычно в килограммах/ч.

Лит.: Павловский Н., Курс гидравлики, Москва—Ленинград, 1931; Фиников С., Векторный анализ, М.—Л., 1931; Kaufmann W., Ange-wandte Hydromechanik, В., 1931. В. Брилинг.