> Техника, страница 84 > Тензорное исчисление

Тензорное исчисление

Тензорное исчисление, математич. дисциплина, изучающая методы непосредственной вычислений с геометрическими величинами, называемыми тензорами. Самое понятие тензора имеет различные значения. С более общей точки зрения под тензорами в пространстве п измерений понимают? геометрич. величины, сохраняющие свое значение (инвариантные) при преобразовании координат. Тензоры первого ранга, или векторы, определяются при помощи п скалярных координат, тензоры второго ранга, или аффиноры,—при помощи п координат, тензоры р-го ранга—при помощи чпР координат. В технике распространена также и другая точка зрения, по которой тензором явля-етсятолько симметричный аффинор (смотрите Диад-иое исчисление). Иногда под тензором понимают линейную вектор-функцию (Игнатовский, Эй-хенвальд). Вычисления над тензорами можно производить двумя различными способами. Можно вычислять непосредственно над тензорами и определяющими их векторами независимо от координатной системы. Такое исчисление разработано в последнее время для геометрии любого числа измерений как эвклидовой, так и неэвклидоЕой (Гиббс, Buzali-Forti и Marcoloncp, Schouton). Основы этого абсолютного исчисления для интересующего технику случая трехмерной эвклидовой геометрии—см. Диадное исчисление. Другое исчисление пользуется правилами сокращенного символ ич. вычисления над определяющими чи (координатами) тензора (Ricci-Kalkul).

Рассмотрим сначала тензоры в трехмерной эвклидовой геометрии. Пусть г_ь г₂, г₃ обозна чают три взаимно перпендикулярных единичных вектора. Тогда радиус-вектор г может быть изображен в виде суммы составляющих:

Г=х_хг_х + х,Л_г + х₃г₃=^ ^xx^lv (1)

Л.

Для сокращения обозначений часто применяют правило, по к-рому каждое одночленное выражение, в к-ром встречается два раза греческий индекс, суммируется по этому индексу без специального обозначения знака суммы. Т. о. вместо (1) можно написать:

^г~^хх“х· (2)

Точно так же любой вектор а может быть записан в виде

«“«А *А-

Еще проще обозначают вектор а, указывая просто его проекцию α_λ. В деформированном теле на площадку dS=ndS внутри тела действует сила упругости,зависящая от направления нормального вектора п. Эта сила 7*dS м. б. записана в виде

PdS=(сг^ · г_хп -f- a₂i₂ · г₂п + сг₃г₃ · г_гп) dS,

где сг_ь <т₂, сг₃—главные напряжения в данной точке. Если координатные векторы г_г, г_а, г₃ не параллельны главным направлениям напряжений, то приходится принимать во внимание также и скалывающие усилия т. Тогда силаР, приходящаяся на единицу поверхности, записывается в виде

Г=р₁₁г₁ · г_гп -ь р 2^ι · 471 + р₁₂г_х · i_zn +

+ Р21^2 · Ч^п + РыЧ * Ч^П + Р23*2 · Ч^п +

+ Рз1*3 * *1» ~Ь ^β ~Ь VzzH * Н^{п =}

= Рл,Λ-V*» (3)

где

_ J τ_λμ, если Я ф μ σ_λ, еслиЯ=/л.

Если вынести за скобку общий множитель п, то Р м. б. записано в виде

jp= П п,	(4)
И II чз fc ч“. ч». fc	(5)

изображает тензор напряжений, равный сумме девяти диадных произведений. Сокращенно этот тензор можно обозначить простым указанием его составляющих ρ_λμ. Тензор напряжений П является симметричным аффинором, потому что его координаты удовлетворяют соотношению

Ρλμ ~ Ρμλ ·

Поэтому тензор П определяется шестью координатами. Аналогично можно определить тензор инерции, тензор фиктивных фарадее-максвелловских напряжений и тому подобное. (смотрите Диадное исчисление).

При сложении векторов складываются их. координаты. Поэтому сумма двух векторов

«= «аb. и Ь=bj_{fl (6})

запишется в виде а + Ь=α_λί_λ + ϋ_μί_μ (суммировать по Я, μ).

Здесь индексы Я, μ, по которым суммируются данные произведения, являются немыми индексами, они исчезают после суммирования и м. б. заменены любой греческой буквой. В частности можно во второй сумме вместо μ

писать Я. Тогда проекции суммы &, + b ,м. б. выражены в виде

^αλ + &λ·

Диадное произведение векторов (6)

а · b=α^_μί_λ·ί_μ (суммировать по Я, μ)

м. б. сокращенно выражено произведением α_λϋ_μ. Здесь однако нельзя заменить индекс μ индексом Я, потому что эта замена приводит к суммированию,по индексу Я, то есть к скалярному произведению аЬ=«дЬд. (7)

Такое превращение диадного произведения α_λϋ_μ в скалярное произведение а_кb_к называется сокращением этого диадного произведения. Равным образом можно произвести сокращение у любого аффинора

4μ*λ"*μ ^{ИЛИ α}λμ> (8)

заменяя индекс μ индексом Я. Получается сумма скалярных произведений или первый скаляр аффинора Ф:

S&=«ΛΛ=«и + «22 + «33 · (9)

Диференциальный оператор, «набла», выражается в виде суммы

(¹⁰>

Поэтому набла-аффинор вектора α=- α_μί_μ равен да_и δα_μ

V ’ « “ ’ V ^{или П}Р°^СТ0 ΈΓ_λ· ⁽¹¹⁾

Сокращение этого набла-аффинора образует дивергенцию уα= div α=

аад да!, дар i дар дх_г дх2 cbc₃

(12)

Несколько более общие соотношения получаются в случае применения косоугольных координат. Рассмотрим три некомпланарных единичных вектора е_г, е₂, е₃ и три обратных вектора е¹, е², е³, связанных между собой соотношениями

ί 1 при λ=μ 0 при λΦμ.

(13)

Введем теперь вместо β_μ новые векторы п_а (необязательно единичные) путем подстановки ^Пс=^ааμ (суммировать по μ). (14)

Подстановка (14) определяет также зависимость между обратными векторами η^τ πβ^λ, если только определитель, составленный из координат аффинора α_σμ, не равен нулю. Из соотношения (смотрите Диадное исчисление)

е — я=β^λη_χ · η^τ

получают, принимая во внимание (14), β^λ=ct „е^ле„ · η^τ

τμ μ

или, принимая во внимание (13),

= а_гЛп“. (15)

Преобразование (15) имеет те же коэф-ты, что и (14), но эти преобразования отличаются друг от друга. Если новые векторы η_λ определяются из векторов β_μ при посредстве аффинора α_λμ, то старые обратные (до преобразования) векторы β^λ определяются из новых обратных векторов nt* при посредстве сопряженного аффинора а _λ. Такое соотношение между преобразованиями векторов е_л и β^λ называется контра-гредиентным. Поэтому говорят, что векто ры β^λ преобразуются контрагредиентно по сравнению с е_я. Рассмотрим теперь любой вектор, разложенный йа составляющие по векторам е_к или ек

α= «_яея=а/е_/г. (16)

Если подвергнуть теперь основные векторы β_μпреобразованию (14), сохраняя неизменными коэф-ты а/“, то вектор а будет преобразован вместе с основными векторами и получится новый вектор

α= а“п_Хш (Π)

Если же при этом преобразовании остаются неизменными коэф-ты α_λ, то в результате преобразования получается другой вектор а"=α_μηι“. (18)

В первом случае а является вектором к о в а-риантным с β_μ, а во втором—к о н т р а в а+ риантным с β_μ и ковариантным с €^λ. Это различие становится излишним в том случае, когда линейные преобразования (14) являются ортогональными, то есть когда допускается только вращение координатной системы е Если предположить, что вектор (16) инвариантен относительно преобразования (14), то есть если «=«Ч=bмл^bм^,

ТО

«^Я=%λ ^Ь*’ (19)

координаты ей преобразуются .контрагредиентно векторам е_к, эти числа являются контравариантными координатами инвариантного вектора а. Равным образом из а= 1)_μηβ=α_λβ>·=α_μλα_λην

получается

^1:>μ=V«A> (20)

числа α_λ являются ковариантными (по отношению к е_к) координатами инвариантного вектора а. Как общее правило у ковариантных координат индекс помещается внизу, у контра-вариантных—наверху. Из соотношения α= а_ке“=α_λβ^λββ · β_μ=ανβ_μ

видно, что

αβ=α_λβ^. (21)

Равным образом из

· ^еА=«я^еЯ

следует

α_λ=α^_μ^βλ, (22)

Ф-лы (21) и (22) позволяют превращать кова-риантные координаты вектора в контравариант-ные и обратно. Если е_к — взаимно перпендикулярные единичные векторы, то различие между α_λи α^λ отпадает.

Чтобы получить простые ф-льт при косоугольных координатах, нужно комбинировать ко-вариантные координаты с контравариантными. Возьмем два вектора α= α_λβ^λ и Ь — Их диадное произведение равно а Ь=α_λό(*β^λ · β_μили просто а_кb(“. Сокращение этого диадного произведения дает скалярное произведение аb=α_}1)^λ. (23)

Скалярное произведение получает в координа-

тах инвариантное выражение а_л&^я, если координаты сомножителей контрагредиентны.

Оператор «набла» в косоугольных координатах выражается в виде:

V=е^я, где г=χ^λβ_λ. (24)

Тогда дивергенция вектора α= α^μβ_μ получается путем сокращения диадного произведения

δα^μ.

^ν·^α=^^βΛ

то есть в виде инвариантной суммы

div α=

да^я δχ^λ

Дальнейшие обобщения читатель найдет в специальной литературе.

Лит.: Эйхенвальд А., Теоретическая физика, ч. 1, Теория поля, М.—Л., 1932; Шпильрейн Я., Векторное исчисление, М.—Л., 1925; Gibb s-W i Ι-βο η, Vector Analysis, New Haven, 1913; Schouten J., Der Ricci-Kalkiil, Eine Einfiihrung in die neueren Methoden u. Probleme d. mehrdimensienalen Differen-tialgeometrie, B., 1924; Spielrein J., Lehrbuch d. Vectorrechnung, 2 Aufl., Stg., 1926; L a g a 1 1 у M., Vectorrechnung, Leipzig, 1928. См. также Диаднос исчисление. Я. Шпильрейн.