> Техника, страница 84 > Теория чисел
Теория чисел
Теория чисел, математич. дисциплина, в которой изучают в отличие от математич. анализа не действия над чи, а самые числа, исходя из различного характера их, как то: чисел целых и дробных, рациональных и иррациональных ит. п. В своей элементарной части Т. ч. изучает свойства целых положительных или отрицательных чисел, то есть чисел натурального ряда
.-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,. (1)
В нек-рых высших отделах Т. ч. изучаются свойства также и чисел иррациональных. В дальнейшем для краткости будем называть целое число одним словом «число». Основным во-цросом Т. ч. по крайней мере в элементарной ее части, является вопрос о делимости чисел, теоретич. обоснование которого состоит в самых общих чертах в следующем. Пусть имеются два числа а и δ и пусть
a=bq, (2)
где q—нек-рое целое число; тогда говорят, что а делится на δ, что обозначается символом а | δ. В этом случае а называется делимым, или к р а т н ы м, а δ—д елителем; q есть также делитель, его называют дополнительным делителем. Т. к., с одной стороны, —а имеет тот же делитель, что и а, а, с другой стороны, если δ есть делитель а, то и —b есть делитель а и можно ограничиться изучением свойств положительных кратных делителей. Рассмотрим ряд чисел, кратных числа δ>0:
. — 4δ, — 3δ, -2δ, - δ, 0, δ, 2δ, 3δ,. (3)
Сопоставляя ряд (3) с рядом натуральных чисел (1), нетрудно усмотреть, что все числа ряда (3) находятся в ряде (1). Рассмотрим какое-либо число а; т. к. оно обязательно находится в ряде (1), то оно окажется в ряде (3) между двумя какими-либо чи этого ряда, например между чи
qb и (2 + 1) ь,
вследствие чего
α= bq + г, (4)
где г есть число мест, на к-рое нужно в ряду (1) отойти от числа bq, чтобы получить а, при этом 0 < г < δ; (5)
при г=0 α= bq, и число а находится в ряду (3). Величина q есть целая часть, получающаяся от деления а на 6, что обозначается символически следующим образом:
= а-
(6)
Исходя из вышеуказанных предпосылок, нетрудно установить следующие теоремы. 1) Если два числа а и b делятся каждое на одно и то же третье число с% то сумма или разность а и b также делится на то же число с. Если условие теоремы писать над горизонтальной чертой, а заключение под этой чертой, то указанную теорему можно символически записать в следующем виде:
α I с; Ь с
(а ± b) I с“ w
Очевидно, что эту теорему можно распространить на какое угодно число кратных аи а2, ., ап, так что аг I с; а2 [ с; а3 | с; .; ап с /оч
п - W
1
2) Если число а делится на b, a b делится на с то и а делится на с:
Всякое число делится на 1 и на самого себя; эти делители называются несобственными; помимо того данное число может иметь еще и других делителей, которые называются собственными. Пусть имеются два числа а и b и пусть делители числа а будут
1, d, d”, d", ., α, (10)
а делители числа b будут
1, δ δ", ό",., δ. (11)
Ряды (10) и (11) могут иметь и общие числа
1, d19 d2i ., djg. (12)
Наибольшее число dk из последнего ряда называется общим наибольшим делителем чисел а и δ и обозначается так:
dk=D(a, Ь). (13)
Аналогичным образом можно дать определение для общего наибольшего делителя и для большего количества чисел. Если имеется несколько чисел α, δ, с,. то можно найти такие числа, которые будут кратными всех данных чисел; такие числа называются общими кратными, причем наименьшее из них называется наименьшим общим кратным и обозначается символически:
т (α, δ, с .).
Особенно важное значение имеет в Т. ч. модуль, под которым подразумевают совокупность чисел, которая обладает тем свойством, что сумма или разность любых двух чисел этой совокупности принадлежит к той же совокупности. Так, ряд всех четных чисел
.—6, —4, —2, 0, +2, +4, (14)
представляет собой модуль, т. к. сумма или разность любых двух чисел этого ряда дает опять четное число, то есть число, принадлежащее к тому же ряду. Из определения понятия мо дуля легко прийти к следующим выводам: 1) всякий модуль содержит число 0; 2) всякий модуль содержит как положительные, так и отрицательные числа; 3) всякий модуль состоит из совокупности чисел, кратных наименьшего положительного числа модуля. Последнее число часто также называют модулем.
Свойства модуля имеют непосредственное применение при нахождении общего наибольшего делителя чисел. Пусть имеются два числа а и b; рассмотрим совокупность чисел ах + by, где х и у—независимые друг от друга числа, принимающие всевозможные целые значения. Нетрудно видеть, что в рассматриваемую совокупность входят числа: 0 (при х=у=0), а (при х=1; у=0) и b (при х=0; у=1). Возьмем два числа из этой совокупности:
ахх + bуг и ах2 + bу2.
Взяв сумму или разность их, имеем:
(о®1 + by i) ± (ахг + bуг)=а (хг ± хг) +
+ Ь(у1±уг), (15)
то есть получаем число, принадлежащее к той же совокупности, т. к. это есть число вида ах+bу, при x=x1^zx2 и г=2/ι ± у2. Следовательно рассматриваемая совокупность чисел есть модуль, а поэтому на основании вышеприведенного
3-го свойства модуля она эквивалентна совокупности кратных наименьшего положительного числа п модуля. Применяя для эквивалентности знак можно написать:
ах + by ~ ш, (16)
где z—число, принимающее всевозможные целые значения. Допустим, что
D (а, b)=d. (17)
Т. к. по вышесказанному а и Ь принадлежат к модулю (16), то они делятся на п, то есть п—их общий делитель, а т. к. d — их наибольший общий делитель, то
d>n. (18)
Но п есть число данного модуля, т. ч. п=ах + bу у (19)
где х, у—нек-рые значения х и у. Т. к. а и b делятся на d, то и п должно делиться на d9 следовательно
n>d. (20)
Из (18) и (20) следует, что
n=dy (21)
то есть что наименьшее положительное число модуля ах + bу есть общий наибольший делитель чисел а и b:
ах + bу ~ D (а, b) · п. (22)
Отсюда можно сделать и обратный вывод: если Я (а, Ь)=dy то можно подобрать таких два целых числа ху уу при к-рых ах + bу=d. (23)
Пусть далее имеем какой-нибудь общий делитель б чисел а и b:
α= дщ; b=<5п2. (24)
Подставляя (24) в (23), имеем:
δ (щх + п2у)=dy (25)
т. e. d есть также делитель и для δ. Таким образом всякий общий делитель есть также делитель и для общего наибольшего делителя. Если D (ауb)=1, то других общих делителей а и b не имеют; в этом случае они называются взаимно простыми.
На основе приведенного выше можно легко доказать нижеследующие положения: 1) част ные от деления двух чисел на их общего наибольшего делителя суть числа взаимно простые; 2) если два числа взаимно простые с третьим, то и их произведение есть число взаимно простое с третьим; 3) если имеются два ряда попарно взаимно простых чисел, то произведение всех чисел 1-го ряда есть число взаимно простое с произведением всех чисел 2-го ряда.
Числа, имеющие собственных делителей, м. б. представлены в виде произведения этих делителей, поэтому они называются также разложимыми, или составными, чи в отличие от неразложимых, или простых, или первоначальных, чисел, имеющих только несобственных делителей. Всякое составное число м. б. разложено на первоначальных множителей, то есть представлено в виде произведения последних. Т. к. нек-рые из простых делителей или сомножителей могут повторяться при разложении, то всякое составное число м. б. представлено в виде
η=ααΙβϋ4δ., (26)
где а у bу Су .—числа простые, а а, /?, у, .— целые положительные числа, причем нек-рые из них могут равняться 1. Сомножители, не повторяющиеся, называются первичными. Очевидно, что все делители числа п будут содержаться в ф-ле
<5=aaVcy. Ιλ, (27)
Нетрудно установить, что число ρ всех делителей числа п будет равно
<?=(а + 1)(/1 + 1)(У + 1).(Л+1). (28)
Число q зависит очевидно от числа п:
ρ=ρ(η). (29)
Признаков, на основании которых можно было бы непосредственно судить о том, есть ли данное число простое или составное, до настоящего времени не установлено, т. ч. распознать в этом отношении характер данного числа можно только последовательным делением его на простые числа. Точно так же несмотря на многочисленные попытки не установлен и закон распределения простых чисел в ряде натуральных чисел. В Т. ч. помимо ф-ии ρ (п) рассматривается еще и целый ряд других ф-ий. Так, рассматриваются: сумма всех делителей числа п, символически обозначаемая (п); число чисел взаимно простых с η и не превосходящих п, каковая ф-ия обозначается через φ (п)—т. н. ф-ия Гаусса; ф-ия, представляющая собой число первоначальных чисел, содержащихся между 1 и ПуИ обозначаемая через Я (п), и т. и. Все эти ф-ии представляют собой пример ч и с-л о в ы х ф у н к ц и й, то есть ф-ий, оперирующих с понятиями Т. ч.
Особенно крупную роль в Т. ч. играет распределение чисел по классам относительно данного модуля, причем под этим термином подразумевается следующее. Пусть имеется какой-нибудь модуль
Mod (п) ~ ш
и два каких-нибудь числа а и b. Если разность чисел а — b принадлежит к рассматриваемому модулю, то говорят, что они принадлежат к одному и тому же классу относительно данного модуля или что они сравнимы по данному модулю. Так, числа 17 и 13 сравнимы по модулю, представленному рядом (14). В этом случае для a и & применяется символ
α== b (Mod п). (30)
Последнее выражение называется сравне-н и е м по модулю п. Можно доказать, что два числа сравнимы по модулю п, если при делении на п они дают равные остатки, наир, числа 27 и 17 сравнимы по модулю 5, т. к. (27—17)== 2-5, при этом и то и другое число при делении на п=5 дают равные остатки. Если имеется число а, то всякое другое число b того же класса по модулю п называется вычетом числа а по модулю п. Так, для числа 18 при модуле 5 наименьший положительный вычет будет+3, а наименьший отрицательный вычет будет —2. Какое-либо из чисел класса по данному модулю называется представителем класса. Система, состоящая из представителей всех классов по данному модулю, называется полной системой вычетов. Так, при модуле п=8 полная система.вычетов будет: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, причем 1, 3, 5, 7 будут с модулем 8 числа взаимно простые. Такие числа называются единицами по модулю п, а совокупность всех единиц по данному модулю— приведенной системой вычетов.
Нетрудно доказать следующие положения.
1) Два числа, сравнимые порознь с третьим по одному и тому же модулю, сравнимы между собой по тому же модулю, что можно символически представить в виде:
(Mod»). (31)
2) Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать и вычитать:
п). (32)
3) Сравненияряожно почленно перемножать:
в^Ш-(Мо<1*)· <33>
Из сказанного видна аналогия, существующая между сравнениями и ур-иями. Идя по пути аналогии и дальше, Т. ч. рассматривает сравнения, содержащие неизвестные х, у, z, и отыскивает целые значения неизвестных, удовлетворяющие данным сравнениям. Таким образом рассматриваются сравнения с одним неизвестным, с двумя, тремя неизвестными, сравнения 2-й степени, высших степеней, показательные сравнения и тому подобное.
Помимо области целых чисел Т. ч. рассматривает еще более обширную область, в которой первая является как бы лишь частным случаем, а именно: область, элементами которой являются всевозможные многочлены вида