> Техника, страница 87 > Угловое ускорение
Угловое ускорение
Угловое ускорение, ε, предел" отношения изменения угловой скорости вращающегося вокруг оси твердого тела к соответствующему промежутку времени, когда последний стремится к нулю:
s=lim Δί-» о
do* _ ά2φ ~di =~ (Ш
Если Δω > о, ТО ε > 0; если Δω < 0, ΤΟ ε< 0. При ε=Const вращение называется равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным). Интегрируя ур-ие
do)
ΊΠ~~ε>
для ε=Const получаем
ω — st -p C.
Если в момент t=0 угловая скорость была ω0(начальная угловая скорость), то С=ω0 и следовательно ур-ие угловой скорости при равнопеременном вращении имеет вид: ω=«Уд -p st.
Так как, с другой стороны,
άφ
ТО
dt9
άφ.,
— =ω0 + εί
или после интегрирования гают полное ускорение w на касательное ускорение w, и нормальное wn. Т. к. радиус кривизны равен г, то
dv d(o
w‘=lft=rTt=re
V2 ?*2ω2 „
W„=—=:-=ГСО2
l
I
(3)
— ω0ί + -γ + C i-
Если φ=φ0 для ί=0,то С j= ?>„ и т. о. ур-ие равнопеременного вращения будет
φ=9>о + ωο< + ^ · <~)
Из ур-ия (1) имеем
ω — ω0
ε —
откуда ясно, что за единицу У. у. необходимо принять У. у. равнопеременного вращения, при к-ром угловая скорость изменяется в единицу времени на единицу угловой скорости. Т. о. по аналогии с угловой скоростью единицы У. у. будут:
1 об.
_- и --- ·
СК.2 МИН.2’
первая носит название абсолютной единицы У. у. Соотношение между единицами У. у. таково:
, Об. _ 2л π 1 β
1 МИН."2 ~~ (60СК.)2 “ 1800 СИ.2 ’
1 602 Об. _ 1800 Об.
СК.2~ 2π МИН.2 л МИН.2
Размерность У. у., принимая во внимание, что размерность [?>]=[1°, ш°, ί°], выразится так: W=[i°, m», Г2].
Ф-лами (1) и (2) пользуются как первым приближением при решении вопросов, связанных с пуском в ход и остановкой двигателей, т. к. обычно характер изменения вращающего или тормозящего момента бывает неизвестен.
Пример 1. При пуске в ход двигателя угловая скорость его возрастает пропорционально времени и к концу 10 ск. равна 44 2_. Сколько оборотов сделает двигатель за это время?— В данном случае ωο=0 и φ0=0, следовательно со=et=44 — или ск.
_ 4t 1 ε ~ 10 ск.2 ’
отсюда
Ρ=4~ = Ϊ5ΊΓ = 2210 (Радианов),
что составляет
п_г π10=35 оборотов ^причем взято π=·
Пример 2. Сделав 1 000 об/мин., маховик замедляет ход и после 10 оборотов останавливается. Определить время замедленного хода.— По условию ω0 — 1 000 об/мин. и <р=10 оборотам.* Если t—искомая величина, то
t а)0 +=0у
“о ί + « т =10 ’
откуда 500 ί=10; f=0,02 мин.=1,2 ск.
Для точки тела, находящейся на расстоянии г от оси вращения, вращательная (окружная) скорость (смотрите Угловая скорость) будет
Для вычисления ускорения этой точки разла
Ускорение wt направлено по касательной к окружности и называется вращательным; wn направлено к центру окружности (центростремительное ускорение). Очевидно
w=]/»? + wn=r Vs2 + ω4· (4)
В ф-лах (3) и (4) ω и ε должен быть выражены в абсолютных единицах. В случае равномерного вращения ω=Const и следовательно ε=0, а потому
wt=rs=0.
Т. о. при равномерном вращении w=wn=гм2
и направлено к центру окружности, описываемой точкой. Т. к. нормальное ускорение wnпропорционально квадрату угловой скорости, то в быстроходных двигателях возникают огромные нормальные ускорения, например для турбинного диска 0 80 см, развивающего угловую скорость 1 800 об/мин.,
2π -1800 1 1
(о=—-= 60 π —;
δ0 СК. СК. ’
w=wn=г · ω2=40 · 602 · π2 —ίγ=14,4 км/ск2.
Относительно способов устранения опасности от центробежных сил, возникающих при наличии нормальных ускорений, см·. Двигатели гидравлические и Маховое колесо.
У. у. как вектор. Направление о постоянно (т. к. вращение происходит вокруг неподвижной оси), поэтому ε как производная вектора постоянного направления имеет направление, одинаковое с ω при ~>0и прямо противоположное при ^ < 0. Величина вектора ε как величина производной вектора постоянного направления равна абсолютному значению производной диференцируемого ВеКТОра, Т. е. равна (ε). в Никаноров.
Лит.: см. Механика теоретическая.