> Техника, страница 90 > Функции комплексного переменного
Функции комплексного переменного
Функции комплексного переменного,
ф-ии вида w=u + iv, действительная и мнимая части которых зависят от действительной и мнимой частей ж и у комплексного переменного z^x + iy, где г=F-i. Для графич. изображения этой зависимости обычно считают ж, у координатами точки в плоскости XOY (точка z), а ф-ии и, V—координатами точки в плоскости UOV (точка w). Функциональная зависимость между w и z иллюстрируется графически соответствием между точками w и z. Комп
лексные значения w и z определяются также векторами OQ и ОР (фигура) в плоскостях UOV, XOY (смотрите Комплексные числа).
Наибольший интерес в анализе представляют аналитические Ф. к. п., w=-
= f(z)=u+iv, обладающие производными
d2w
> ···> зависящими только от z и не зависящими от dz. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы данная Ф. к. п. была аналитической, являются ур-ия Коши-Римана:
ди _ dv_ ди __ __ dv.
дх ~~ ду 9 ду~~~дх
Аналитические Ф. к. п. осуществляют конформное отображение (смотрите) точек плос-
{νβ^
(ψ
О
кости ΧΟΥ наточ-. ^ Q
ки плоскости UOV.
Ф. к.‘ п. позволяют обобщить наши представления об обычных ф-иях действительного переменного. Так, показательная Ф. к. п“ z определяется как сумма ряда
f(*) =
тП
+ ^г +
(2)
равномерно сходящегося для всех значений я. Диференцируя почленно этот ряд, получают тот же самый ряд. Т. о. f (z)=f (z). Разлагая ф-ию f(z) в ряд“Тейлора, получают поэтому:
f(*+*)=/(*)+!/(*)+ - +£f(*)+ ··· =
= f (z) (i + г + · · · + + · · ·)= f (*0 (Ю-
Ф-ия f (z) удовлетворяет функциональному ур-ию
f(g+H)=f(e)f(h),
как и обычная ф-ия ех. Поэтому можно эту Ф. к. ш назвать комплексной степенью от е и обозначить в виде
f(z)=e*.
Принимая во внимание формулу Эйлера (смотрите Комплексные числа)
eiy ~ cos у + г sin у,
можно написать
efc+iy _ Q^Giy — е% (C0S у i sin у).
Отсюда следует, что ez—периодич. ф-ия с мнимым периодом 2 ni. Поэтому хотя е2т=cos 2 п + i sin 2 п=1=е°, но отсюда совсем нельзя заключить, что 2 ni —=0. Понятие о показательной Ф. к. п. позволяет определить логарифм отрицательного числа. В самом деле,
-α= аеы + 2Ш,
поэтому
In (— а)=In а + in + 2 kni,
например
In (— 1 )=in.
Логарифм—многозначная ф-ия, но различные“ значения логарифма отличаются друг от друга на мнимые числа, кратные 2 ni. Ф. к. п. позволяют также расширить представления о тригонометрии, ф-иях. Синус и косинус комплексного аргумента z определяют при помощи рядов:
Z3 Z5
COS£=l-^- + j7 -.
Величина
Применяя разложение в ряд Тейлора для ф-ий sin О + К) и cos О + К), получают ф-лы сложения для этих Ф. к. п.
sin (ж -f гу)=sin ж cos гу + cos ж sin гу.
Но т. к. (смотрите Комплексные числа)
sin гу —г sh у, cosi?=ch?/, то
sin (ж 4- гу)=sin ж ch у + г cos ж sh у и аналогично
cos (ж -f гу)=cos ж ch 2 — г sin ж sh у.
Эти ф-лы показывают, что sin я и cos z могут иметь любое значение, в частности 81пж>ь1, например sin ж=5. В этом случае понятно ж является комплексной величиной.
Если значения и, ν Ф. к. п. считать проекциями нек-ропэ вектора, то сопряженный вектор A=ui — vj не имеет ни источников ни завихрений:
divA=0, rotJL=0.
Это обстоятельство сказывается на свойствах линейного интеграла аналитической Ф. к. п. (z), взятого вдоль линии L в плоскости XOY:
I* f(z)dz= f*(udx — ν dy) -f г (a dy -f v dx).
(L) iL)
Если линия L расположена в односвязной области значений z, для которых f (z) является ана-литич. ф-ией, то интеграл этот не зависит от формы линии L, а зависит только от положения начальной и конечной точек, в частности .этот интеграл равен нулю для замкнутой линии L. Значения f (z) на такой замкнутой линии L определяют значение f (ξ) в любой точке ζ=ξ, расположенной внутри линии L:
f № = hd (интегРал Коши).
(l)
Значения производных определяются по ф-ле
= — Г.Hz)_dz
1 2яг J (z-|)w+1
И)
Если линия L—окружность радиуса R, то z в полярных координатах имеет вид z=Rel<p. Тогда значение f (z) в точке ξ=τβ1ψ f (ξ)=u + iv =
2 π
_ 1 Г ; n J?> R2 — r2
~2nJ R2 — 2 Rv COS (φ-ψ)+Τ2α<Ρ>
0
откуда
2я
u(r, Ψ)=^ J U{R, <p) 0
__R2—r2 _
R2-2Rr cos (φ-ψ) + r2
d(p
(интеграл Пуассона).
Интеграл Коши дает основание для теории вычетов. Пусть в окрестности точки а данная ф-ия f(z) может быть разложена в ряд по восходящим и нисходящим степеням z — а (ряд Лорана):
f I*)=C0+C1(z-a) + С2 (z-a)· +
. +
C_i
(2-α)·
Если этот ряд сходится вдоль замкнутой линии L, то, интегрируя почленно вдоль этой линии, получают
J* f (z) dz=2лгС-1.
Ш
С-! =
L· f tw d.z
(L)
называется вычетом функции f (z) относительно особой точки а. Если внутри контура L имеется несколько особых точек а, b, с .,то интеграл вдоль этой линии ^ J* f(z) dz равен
(L)
сумме вычетов функции f (z) относительно этих особых точек а, b, с,. Теория вычетов имеет много применений в алгебре и в анализе. В частности применение вычетов дает возможность во многих случаях вычислять определенные интегралы функции действительного переменного. Теория Ф. к. и. позволяет строить функции, зная их нулевые и особые точки.
Лит.: Привалов И., Введение в теорию функций комплексного переменного, М.—Л., 1927; Г у р с а Э., Курс математического анализа, пер. с франц., 2 изд., т. 2, ч. 1, М.—Л., 1933. Я. Шпильрейн.