> Техника, страница 92 > Шаровые функции

Шаровые функции

Шаровые функции, η-го порядка, целые рациональные ф-ии от

cos sin ft cos φ, sin ft sin φ,

удовлетворяющие диференциальному ур-ию второго порядка:

1 д /. q ди. 1 д²и i

slnT W ^smtT д&) ⁺ sln2tf Ify* ⁺

+ η (η + 1)η=0. (1)

При известных ограничительных условиях ф-ия f (#, φ), заданная во всех точках шаровой поверхности с координатами # (полярный угол), φ (азимут), м. б. разложена в ряд оо

4яЦ», <р)=2 (·^2η + 1)Υη{», φ), (2)

п=О

где Υ_η(&, φ)—Ш. φ. η-го порядка. Наибольшим распространением пользуются Ш. ф. Лежандра, зависящие только от # и не зависящие от φ. Ш. ф. Лежандра η-го порядка обозначаются обычно через Р_п (cos #). Для этих ф-ий ^^=0 и потому (1) принимает вид:

5^ά(^8ίη#®) + ^η<^η+1>^Μ=0· (3)

Подставляя cos#=a?, Ш. ф. Лежандра можно представить в виде Р_п (х)=Р_п (cos #). Эти ф-ии удовлетворяют поэтому ур-ию

(1 ~ ^χΖ) ^ — 2х~ + п(п + 1)и=0. (За)

Начальные условия для интегралов и=Р_п (х) этого диференциального ур-ия выбирают сл. обр.:

Р_п(0)=0 при п=2к + 1,

Рр (0)=(- 1? —^ПР^{И η =2Ι}· >

Р„( 1)=1, р_я(- 1)=(-1)

Тогда Ш. ф. Лежандра Р_п(х) выражаются при помощи следующих многочленов (полиномы Лежандра):

Р₀ (ж)=1, Р_г (х)=х=cos #,

р»(»)=1 (За“ - 1)=~ (3 cos² » -1),

Рз (^х)=^ (5ж³ — Зж)=у (5 cos³ & — 3 cos &),

Pi (ж)=4 (35ж⁴ - 30ж^а + 3) =

=§- (35 cos⁴ ft — 30 cos² ft ~ 3),

Pi (®)=·§· (63ж⁵ - 70ж³ + 15ж).

Эти ф-ии связаны рекуррентной ф-лой:

(n+1) Pfi+i (х) — (2п+1) хР_п (a?)-f-nP_w_i (ж)=0. (4)

Для больших значений η полиномы Лежандра имеют приближенное (асимптотическое) выражение:

Р_п (cos ft) - У · Sin [(и + }) # + -£]. (5)

С помощью Ш. ф. можно разложить в степенной ряд ф-ию, имеющую большое значение в теории потенциала:

^~====Р₀ + гР₁(х) + г“Р₂(х)+. (6)

при г < 1,

при г > 1.

Yi-zrx+r* г

= ip₀ + ip₁(a_!)+ip₂(x)₊.

(?)

Ш. ф. Лежандра обладают свойством ортогональности; это значит, что они удовлетворяют соотношениям:

+1

J^Pjw (β) Рη (β) dx — 0 (8)

-1

при т ф п; вместе с тем

4*1

J* Ри (^ж) dx=2ηφΐ * 00

-1

Эти соотношения позволяют разложить в ряд по Ш. ф. данную ф-ию (х):

f (х)=а₀Р₀ (х) + а_хР_х (х) + а₂Р₂ (х)+ ., (10)

где по аналогии с рядом Фурье коэф-ты а_попределяются при помощи интеграла +1

= J* f(t)P_n(t)dt (п - 0, 1, 2, .)· (11)

-1

Такие разложения применяются также для наилучшего приближения данной ф-ии; например разложение

COS Ж=1 — уЖ² + ~ ж⁴—.

дает не очень точные результаты, если ограничиться написанными членами разложения.

Делая подстановку х=^ t, можно дать для

cosх приближенное разложение, дающее при данном числе слагаемых во всем интервале наименьшее отклонение:

cos α₀Ρ₀ + α₂Ρ₂ (t) + α₄Ρ₄ (t), (12)

где а₀

+1

у J cos f-1 dt =, <Н=о, -1

«2=4 ^pa(Ocosf £di=y[l-3(-|)²] И т. д.

-1

Подставляя значения а_п и Р_п (t) и возвращаясь к исходной переменной х, получают с гораздо большей точностью

cos х=0,9996 — 0,4964 ж² + 0,0372 ж⁴

для всех значений ж от — у до +.

Ш. ф. применяются также при решении ряда проблем теоретической физики, электротехники и тому подобное.

Лит.: Гильберт Д. и Курант Р., Методы математической физики, пер. с нем., М.—Л., 1933; Уиттекер Е. и Ватсон Г., Курс современного анализа, пер. с англ., ч 1, М.—Л., 1933; Таблицы специальных •функций, под ред. Я. Шпильрейн, М.—Л., 1934; Runge О. u. K6nig Н., Vorlesungen uber numerisches Rechnen, В., 1924; Jahnke E. u. E m d e F., Funktionenta-feln, Lpz.—В., 19&3; M i s e s R. u. Frank P., Die Differential- u. Integralgleichungen der Mechanik u. Physik, B. 2, 7 Aufl., Brscliw., 1927. Я. Шпильрейн.