> Техника, страница 94 > Электростатическое поле

Электростатическое поле

Электростатическое поле, поле покоящихся электрич. зарядов. Так как Э. п. является частным случаем электромагнитного поля, можно вывести законы Э. п., пользуясь ур-иями Максвелла (смотрите Максвелла уравнение, Электромагнитное поле). Проще однако исходить из основного опытного закона электростатики—закона Кулона. Наконец возможен еще третий путь, принятый проф. Френкелем,— рассмотрение не отдельных зарядов, а диполей. Принимая в качестве постулата, что Э. п. консервативно, можно вывести все законы Э. п., рассматривая элементарные диполи. Использование закона Кулона является все же наиболее простым методом, вследствие чего этот способ и будет в дальнейшем применен.

Согласно закону Кулона два точечных заряда действуют друг на друга с силой

τρ __ _QiQ2_

4πΚ₀εΚ²’

(i)

то есть силой, пропорциональной их зарядам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила направлена по линии, их соединяющей, и в случае одинакового знака зарядов отталкивает один заряд от другого, при противоположных знаках—притягивает. Поэтому закон Кулона м. б. выражен так:

_ Qi<l* т>

где JB₁₂—радиус-вектор, проведенный из точки, где находится первый заряд, в точку, где находится второй, F_l2—сила, действующая на второй заряд вследствие присутствия первого, €—диэлектрич. коэф. среды, показывающий, во сколько раз сила в данной среде будет меньше, чем в вакууме, К₀—диэлектрич. постоянная вакуума, равная 0,884-10 ¹³ t/см. Удобство введения этой величины и коэф. 4π будет видно из дальнейшего. Т. к. сила, действующая на заряд, пропорциональна его величине, то величиной, характеризующей поле, является отношение силы к заряду, на к-рый она действует. Эта величина называется н а-пряженностью Э. п. Напряженность Э. п. одного заряда q согласно закону Кулона равна

Е =

В.

(2)

Она направлена по радиусу-вектору. В этом ур-ии благодаря выбору коэф-тов q выражено в кулонах, Е—в вольтах на см. Если в пространстве несколько зарядов, напряженность поля равна геометрич. сумме напряженностей, происходящих от каждого заряда в отдельности. Так как такое суммирование производить затруднительно в целом ряде случаев, удобно ввести понятие о потоке вектора Е через поверхность S

N= J E_ndS,

где Е„—проекция напряженности поля Е на нормаль к бесконечно малой поверхности dS. Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности поля через любую замкнутую поверхность равен заряду, находящемуся внутри этой замкнутой поверхности, деленному на К₀ и ε

$^CndS-_Koe (3)

Если заряд распределен по объёму, ограниченному замкнутой поверхностью, и объёмная плотность его равна ρ, то, разделив на объём и переходя к пределу при уменьшении объёма до нуля, находим согласно второй теореме Гаусса

diviJ =

К₀е

(4)

Это диференциальное ур-ие является одним из основных законов не только электростатического, но и всякого электрического поля (смотрите Электромагнитное поле). В вакууме, когда ε=1, удобно пользоваться величиной напряженности электрического поля. В диэлектриках удобнее перейти к вектору

Ώ=Κ₀εΕ, (5)

т. к. при этом ур-ие (4) принимает наиболее простой вид:

diV X)=ρ. (6)

В изотропной среде ε—величина скалярная, и поэтому введение величины JJ, которая носит название электрической индукции, не встречает затруднений. Э. п. является полем консервативным. Работа, совершаемая силами поля, при перемещенйи единичного положительного заряда не зависит от пути, а лишь от начального и конечного пунктов. Это доказывается легко для поля одного заряда, а затем для поля многих зарядов. Для одного заряда где и Я₂—расстояния начальной и конечной точки. Каждая точка т. о. определяется величиной, носящей название потенциала,

______Q____

4 πΚ₀εΗ

Const.

Предполагая, что в бесконечно удаленной точке потенциал равен нулю, необходимо произвольную постоянную приравнять нулю. Таким образом потенциал любой точки в поле одного заряда равен

Потенциал поля нескольких зарядов очевидно равен сумме потенциалов полей каждого из зарядов в отдельности. Соотношение между потенциалом и напряженностью поля определяется ур-ием

άφ=—E dS

или

Е=~ grad ψ. (9)

Соединяя это ур-ие с ур-ием (4), получают основное ур-ие Э. п.—ур-ие Пуассона

div grad <р vV=— ^7· (Ю)

Обычно задачи, которые ставятся в электростатике, заключаются в том, что даны заряды на проводниках и необходимо найти потенциал Э. п. или дан потенциал проводника определенной формы и необходимо найти распределение зарядов. Вместе с тем находится величина емкости проводника или система проводов. Лишь в некоторых случаях решение задачи очень просто. Таковы например поля шара, шарового конденсатора, цилиндрич. конденсатора, плоского конденсатора. В ряде случаев помогает метод конформных отображений (смотрите), но в большинстве случаев точное решение невозможно. Уменьшение напряженности Э. п. в диэлектрике м. б. объяснено тем, что под влиянием Э. п. происходит сдвиг связанных зарядов в молекулах диэлектрика. Эти заряды создают поле, противоположное основному и пропор-

циональное ему. Если суммарный электрический момент в единицах объёма равен В, причем

JP - аК₀Е,

то для одного заряда напряженность поля оказывается равной гг_ я. _ Р

4яК₀Н* К₀’

ИЛИ

Т. о. диэлектрич. коэф.

ε=1 + α.

Энергия Э. и. может быть выражена двояко. Приписывая каждому проводнику заряд и потенциал, можно получить энергию элекброста-тического поля таким образом:

w= 2 ^ψ·

Для распределенных по объёму зарядов

W=f™dV. (11)

Приписывая же энергию полю, находят

W=(12)

Можно показать, что оба эти выражения дают одно и то же значение энергии. Правильно считать эти формулировки двумя сторонами одного И ТОГО Же ЯВЛеНИЯ. И.Кляцкин.