> Техника, страница 95 > Эллиптические функции
Эллиптические функции
Эллиптические функции и эллиптические интегралы, интегралы типа
R (х)dx
Yp7&)’
где R (ж)—рациональная ф-ия от ж, Р4(ж)=А0 + -f Агх + Л2ж2 + Аъх3 + Л4ж4. Путем соответствующих преобразований такой интеграл м. б. сведен кроме обычных ф-ий к трем основным интегралам: эллиптич. интегралу первого рода я
F{k, ж)= Г ------, (1)
J /(1-3:2) (l-fc2jc2)
и эллиптич. интегралу второго рода при определении длины дуги эллипса. Если даны параметрич. ур-ия эллипса х=асо$и, у=b sinu,
то длина дуги эллипса м. б. выражена при помощи эллиптич. интеграла
φ
Е(к1<р)=а J Vl-k2$m2<pd(p,
о где п 7 С
<P=T-U, *=е=-·
В настоящее время эллиптич. интегралы встречаются при решении самых разнообразных вопросов алгебры, теории ф-ий, астрономии, а также различных технич. задач из области механики, теории упругости, теории колебаний, расчета электрич. емкостей, индуктивностей и тому подобное. Так, полный период колебания математич. маятника длиной I определяется по ф-ле
T=4]/I.if (sii4),
где а—максимальный угол отклонения маятника. Еще в начале прошлого столетия Лежандром были составлены подробные таблицы эллиптич. интегралов первого и второго рода в зависимости от амплитуды и модуля. Эти таблицы были впоследствии перепечатаны в различных изданиях.
Обратные ф-ии от указанных эллиптич. интегралов называются Э. ф. Якоби. Они м. б. определены след, обр.: из интеграла
φ
Г dtp
U~ J Δ(φ)
О
E
(2)
эллиптич. интегралу третьего рода
П{к, λ, х)=J
dx
(1 +Дя2) /(1-χ2)(1 ~№χ*)
(3)
где к—модуль интеграла, λ—параметр интеграла, ж—амплитуда интеграла. Эти интегралы м. б. представлены в тригонометрии. форме путем подстановки ж=sin φ;
F<-krt=Szfc> (4)
υ
• <р
Е (к, φ)=J Δ (φ)άφ, (5)
О
= <6>
υ
где
Δ (φ)=|/ΐ — ft2 sin2 φ.
Когда амплитуда φ=τί, то соответствующие интегралы называются полными эллиптич. интегралами
η π
2 2
K(-k)=Sm=/Δ(φ)·ψ·
О υ
Название «эллиптические интегралы» возникло потому, что такие интегралы встречались определяют φ в зависимости от и при модуле к. Тогда говорят, что φ есть амплитуда переменной и и пишут
φ=am (it) (mod к).
Существует три основные Э. ф. Якоби:
sn (и, к)=sin φ=sin am (и), (7
cn (и, к)=cos φ=cos аш (и), (8)
dn (и, к)=]/l — к2 sin2 φ=A am (и). (9)
Эти ф-ии связаны между собой соотношениями: sn2 и -f cn2 н=1,. (10)
dn2 и + к2 sn2 и=1. (11)
Э. ф. Якоби обладают двумя периодами, связанными с полными эллиптич. интегралами 1
К(к) ТЯ.К=Г -=
i к а-
dx
χ2) (i-hlx2)
где к — 1 — к2.
При любых целых значениях m, η соблюдаются равенства:
sn (и + 4тК + i2nK)=sn и, (12)
сп [и + (4т + 2n)K + i2nK]=cn и. (13)
Значения sn (и), сп (и), dn(w) для нек-рых специальных значений аргумента можно усмотреть из приведенной ниже таблицы.
Существуют таблицы, дающие значения Э. ф. Якоби при действительных значениях аргумента. Эти ф-ии м. б. выражены при помощи различных рядов и в частности при помощи т. н. функций «тэта». Э. ф., как и эллиптич. интегралы, имеют самые разнообразные применения в науке и технике.
| и J sn и | СП и | dn и | |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1
V 1+ hi |
V hi
У i + fei |
ΥΤΪ | |
| К | 1 | 0 | hi |
| 2 К | 0 | - 1 | 1 |
| 3 К | - 1 | 0 | hi |
| гК | оо | оо | оо |
| г 2 К | 0 | - 1 | - - 1 |
| гЗ К | оо | оо | оо |
| — и | - snu | СП и | dn и |
| 2 К - и | sn и | -спи | dn и |
| 2 К -{· и | -snu | - СП и | dn и |
| 4 К - и | - sn и | СП и | dn и |
| г 2 К и | sn и | - СП и | - dn и |
| ги | sn (и, hi) | 1 | dn (и, hi) |
| СП (и, fex) | сп (и, hi) | сп (и, hi) | |
| и -f гК | 1
k snu |
- г dn и h sn и | сп и sn и |
Кроме Э. ф. Якоби большое значение имеют 3. ф. Вейерштрасса, определяемые при помощи трехчлена третьей степени,
8=4s3 - g2s - дг=4(s - ех) (s - е2) (s - β3), где е± + в2 + е3=О, βιβ2 + ^263 + езе1=~ у 9 > е1^2ез = ~£ 9s-
Рассматривая интеграл оо
/ds
Та определяют нижний предел s как Э. ф. Вейерштрасса от и:
s=p(u).
Эта ф-ия имеет два периода:
► Г ds
J Vs
2a>=iZ f —
J Vs
ei
При действительных e, если е1>е2>е3, Э. ф. Вейерштрасса связана с Э. ф. Якоби следующим образом:
sn (и ге1— е3) =
У^1-Сз
Vp(uj^e,
си (и ]/ге1 — е3) =
У>(«)-в j
Vp(u) - еа ’
dn (и Yev
J7)=y WuV~e2 я
3 Vi0(u)
Модуль этих Э. ф. Якоби определяется из соотношений между периодами 2ω, 2ω и полными эллиптич. интегралами К и К: к, гК
ω=—=, СО=—=.
У et—e3 У ех — е3
Кроме ф-ии р(и) большое значение в теории имеют также ф-ии «сигма» и «дзета», связанные с р(и) соотношениями:
p(u)=-di(U)-~d2,a^(u)- -
du
du2
Существует громадное число ф-л, относящихся к теории Э. ф. Вывод этих ф-л и их использование даны в специальных трудах. 1) В качестве примера из области электричества рассмотрим выражение для коэфициента взаимной индукции двух параллельных круговых токов с радиусами г я R. Если центры окружностей находятся на общей оси на расстоянии d друг от друга, то коэф. взаимной индукции М определяется по ф-ле:
М=4лУШ 2-^2^, тдеК,Е—полные эллиптич. интегралы первого и второго рода, модуль которых к определяется из соотношения
Ь2 = *rR _ β
(г + К)2 + с£2
2) При решении задачи Дирихле в плоскопараллельном поле, ограниченном прямоугольным контуром, поле определяется при помощи Э. ф. Якоби от комплексного аргумента. 3) Э. ф. появляются каждый раз при решении задач, допускающих периодическое повторение значений функции для двух данных направлений.
Лит.: Глазенап С., Математические и астрономические таблицы, Л., 1932; Шпильрейн Я., Таблицы специальных ф-ий, М.—Л., 1934; Уиттекер Е. и Ватсон Г., Курс современного анализа, пер. с англ., ч. 1, М.—Л., 1933; G-reenhill A., The Application» of Elliptic Functions, L., 1892; Schlomilch O.,
Compendium d. hoheren Analysis, B. 2, 4 Aufl., Brscliw., 1895; J a h n k e E. u. E m d e F., Funktionentafeln, Lpz— B., 1933; M i 1 n e-T h о m s ο n L., Elliptische
Funktionen von Jacobi, B., 1931; H a 1 p h e n Gr., Trai-td des fonctions elliptiques et de leurs applications, Par-tie 1, P. 1886. Я. Шпильрейн.